本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
背诵圆周率数字的比赛是一个非常常见的圆周率日活动。而今年恰逢百年一遇的月份/日期/年份与圆周率的前几位小数数字相吻合，我们可能会遇到比平时更多的这类活动。我们有10根手指，这使得十进制数字成为自然的选择，但如果我们是水豚或者辛普森一家，我们可能会使用8进制。如果我们是古代美索不达米亚人，我们会使用60进制。记忆任何这些进制下的数字都有点随意。圆周率的十进制、八进制和六十进制数字并不能捕捉到圆周率的真正本质。为什么不举办一个既有背诵十进制数字的乐趣，又没有任意进制依赖的比赛呢？没错，今年你需要举办一个连分数背诵比赛！
“听起来不错，”我似乎听到你在说，“但那是什么意思？”很高兴你问了！几年前，我写了一篇关于连分数的博客，这是表示数字最浪漫的方式。正如我当时写的那样，连分数就像分数，但更进一步。它不是在分子和分母中各有一个数字就停止了，而是分母中也有一个分数。而那个分数的分母中也有一个分数，以此类推。
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为了标准化连分数，我们要求每个分子都为 1，每个分母都为正数。（我们也允许自己在连分数的前面添加一个任意的正或负整数，这样我们就可以表示不在 0 和 1 之间的数字。）
有了这些限制，每个数字都有一个（基本上）唯一的连分数表示形式。如果这个数字是有理数，那么连分数最终会终止。如果它是无理数，那么连分数就会无限继续下去。
虽然我们使用十进制记数法来书写连分数的分母，但连分数不依赖于进制。12 这个数字，无论我们把它写成 10 进制的 12、2 进制的 1100 还是 16 进制的 C，都是相同的数字。所以，如果 12 出现在连分数的分母中，那么用什么进制来写它都无关紧要。一个数字的连分数表示形式，无论我们使用什么进制，其中的数字都相同，可能只是写法不同而已。
一个数字 x 的连分数展开式告诉我们哪些有理数或分数是对 x 的最佳近似值。当我们在一定数量的项之后截断连分数时，我们得到所谓的 x 的收敛项。如果收敛项的分母为 n，则表示没有比 n 小的分母更接近 x 的数字。收敛项在更强的意义上是最佳近似值，但那是另一个话题。总之，可以说收敛项是最佳近似值中的最佳值，是近似值中的精华。
举一个具体的例子，让我们看看圆周率这个数字。圆周率的连分数是
圆周率的连分数展开式。
而前几个收敛项是：3（当然），22/7（圆周率近似日），333/106，355/113 和 103,993/33,102。在 22/7 之后，所有的收敛项都比 3.1415（与今年的圆周率日日期相对应）更好地近似圆周率。事实上，355/113 的精度比 3.1415 高出两位小数，而分母中只有三位数，而不是五位数（如果您将 3.1415 视为 31,415/10,000）。如此高效，为什么还要费心使用十进制数字呢？当其他人在庆祝“我们一生中唯一的圆周率日”时，你应该告诉他们 3.1415 不是对圆周率的一个很好的近似值。尽量避免在 9:26 说这句话。
索伊德伯格也同意：3.1415 不是圆周率的最佳近似值。图片由我本人在 memegenerator.net 制作。
背诵连分数比背诵十进制数字是更好的庆祝圆周率的方式。你不会把时间浪费在对应于圆周率平庸近似值的数字上，而只会提到对应于圆周率真正良好近似值的数字。最大的难题是你应该背诵连分数中的分母列表（整数数列在线百科全书中的数列 A001203）还是其收敛项，也就是最能近似圆周率的分数本身。收敛项有点棘手：分子在整数数列 A002485 中，分母在数列 A002486 中。背诵连分数的分母更类似于数字背诵比赛，但收敛项提供了更大的挑战！
我必须指出，除了十进制是表示圆周率的一种任意方式之外，我不喜欢数字背诵比赛的原因之一是，借用我从某处读到的一个比喻，记忆圆周率的数字之于数学，就像记忆罗伯特·弗罗斯特诗歌中的字母顺序之于文学。这不是一项具有智力意义的活动。在这方面，连分数背诵比赛并不比数字背诵比赛好。如果您想用更具数学本质的活动来庆祝圆周率日，请查看去年圆周率日关于 Math Munch 的文章，其中包含使用蒲丰投针或观看 Aperiodical 的好心人制作的这个有趣的视频来估计圆周率的说明，其中几位数学家采用了各种圆周率近似策略，但结果好坏参半。或者阅读我去年关于 π(x)（素数计数函数，π 符号的另一种数学用法）的文章。无论你做什么，祝你圆周率日快乐！