本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
本月早些时候，《新科学家》报道，期刊《京都大学数理解析研究所出版物》可能很快会接受望月新一的文章，声称解决了 abc 猜想。望月新一在五年前首次宣布证明了这个数论猜想。从那时起，数学家们一直感到困惑。一些数论学家阅读了证明，并表示它是正确的，但有些人认为望月新一的论证不够清晰，无法让他们评估，也没有充分解决他们提出的问题。
这几乎就像一旦数学家理解了这个证明，他们就注定永远无法向其他人解释它。这是一个低成本的亚瑟王传奇：高文爵士和无法沟通的证明。引起如此大轰动的猜想是什么？
数论以提出容易陈述但难以证明的问题而闻名。以孪生素数猜想为例，该猜想指出存在无限多个素数，它们之间仅相差 2，例如 3 和 5，或 11 和 13。尽管 张益唐在 2012 年朝着证明它迈出了重要一步，表明存在无限多个素数，它们之间相差 7000 万（这个差距后来缩小到 246），但完整的猜想仍然未解决。
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费马大定理是数学中最著名的结果之一，它指出对于大于 2 的整数 n，方程 an+bn=cn 没有整数、非零解 a、b 和 c。虽然理解它不需要太多解开，但在费马在他的书的页边空白处潦草写下他的主张与安德鲁·怀尔斯成功解决这个问题之间，已经过去了 350 多年。
abc 猜想不像那些容易陈述但难以证明的问题。它很难证明，但也很难陈述。它不像证明那么难陈述，但它不像孪生素数或费马大定理那样容易脱口而出。
归根结底，abc 猜想的宏大而深刻的思想是，两个整数的因数与它们和的因数之间存在关系。乍一看，这很奇怪。了解 4 和 11 的因数如何告诉我们关于 15 的因数的信息？7 和 8 会告诉我们相同的事情还是不同的事情？为什么乘法和加法应该彼此有任何关系呢？
为了在更细粒度的层面上理解 abc 猜想，我们从两个没有公因数的整数 a 和 b 开始。（素数是仅有的因数是 1 和它本身的数字。为了方便起见，1 本身不被认为是素数。）我们还考虑它们的和 a+b=c。三元组 (4,11,15) 和 (7,8,15) 都是允许的，但 (5,10,15) 和 (6,9,15) 则不允许，因为它们有公因数。
abc 猜想关注一个称为整数的根基 (radical) 的量，对于数字 n，表示为 rad(n)。它是所有除整数的不同的素数的乘积。因此，数字 2、4、8、16 等都具有相同的根基，即 2，因为 2 是它们唯一的素因数。数字 60 是 22×3×5，因此 rad(60)=2×3×5=30。
我们将关注 rad(abc)。如果你开始玩一些例子，你会发现如果 a+b=c 且 a、b 和 c 没有公因数，数字 c 通常小于 rad(abc)。例如，对于数字 4、11 和 15，我们有 15
它并非总是有效。例如，5+27=32。27 是 3 的幂，32 是 2 的幂，因此我们可以很容易地计算 rad(5×27×32)。它是 5×3×2，即 30，刚好低于 32。对于更大的例子，考虑 1、4095 和 4096。4096 是 2 的幂——准确地说是 212。分解 4095 需要更多的工作，但最终结果是 32×5×7×13，因此 rad(1×4095×4096)=2×3×5×7×13=2730。
c
三元组 (5,27,32) 的质量相当低，略低于 1.02。三元组 (1,8,9) 的质量更高；rad(72)=6，你必须将 6 提高到大约 1.23 次幂才能得到大于 9 的数。
在开始这篇文章 900 个字后，我们终于可以陈述 abc 猜想：对于任何大于 0 的数字 ε，只有有限多个三元组，使得 c>rad(abc)1+ε。因此，如果我们取 ε=0.02，对于 1.02 的质量，三元组 (5,27,32) 不算数，但 (1,8,9) 算数。另一种说法是，如果我们设置一个严格大于 1 的任何给定数字的质量阈值，只有有限多个三元组会超过它。*（还有一些其他等效的表述，但我们在此不赘述。）
我们已经了解了 abc 猜想是什么，但尚不清楚它为什么是这样。当然，我们可以问对于给定的 ε，是否存在有限多个或无限多个三元组，使得 c>rad(abc)1+ε，但世界上为什么会有人想问这个问题呢？
我没有太多数论背景，所以为了写这篇文章，我看了很多例子，开始理解根基的概念和猜想本身。我想理解 rad(abc) 衡量的是什么，以及 abc 命中在质量上意味着什么。正如我们提到的，最初的两个命中是 (1,8,9) 和 (5,27,32)。在每种情况下，我们都有两个完美的幂（不同素数的幂；8=23 vs. 9=32 和 27=33 vs. 32=25），它们非常接近彼此。**
但 abc 命中不必是那样的。我们也有 (1,48,49) 和 (1,4095,4096)。在这些情况下，48 和 4095 不是一个素数的完美幂，但它们确实具有相当小的素因数和重复因数：48=24×3，而 4095=32×5×7×13，正如我们之前看到的。我得出的结论是，以一种印象派的方式，我们试图找到恰好彼此接近的数字（也就是说，三个数字中最小的数字通常比最大的两个数字小得多），并且它们本身或可被素数的大幂整除。
在反思了一些 abc 命中之后，我开始理解 abc 猜想如何与其他数论问题相关。例如，我们可以回到费马大定理，即关于方程 an+bn=cn 的那个定理。它说一个数的 n 次幂永远不会相差 n 次幂。但是它们可能接近于相差 n 次幂，或者它们可能相差某个不同数字 m 的 m 次幂吗？我们可以询问类似的方程：an-bm=1 或 an+bn=5cn。** 有许多、许多方法可以改变这些和类似的方程，它们被收集在 丢番图方程 的总称下，而 abc 猜想是一个非常普遍的问题，最终解决了这些丢番图方程有多少个整数解以及如何解的问题。
数学界需要多长时间才能完全理解和验证或找到望月新一所声称的 abc 猜想证明中的缺陷尚不清楚，但我希望在这次巡视之后，猜想本身会更有意义，如果您愿意，您可以开始自己玩一些高质量的 abc 命中。
*这句话已更新以使其更清晰。感谢 Twitter 关注者指出了原始句子的错误。
**这些句子已更正。感谢 Twitter 关注者指出了我的错误。
关于 abc 猜想已经有很多著作。如果您想阅读更多相关内容，以下是一些我推荐的链接。
布莱恩·海耶斯在他的博客 bit-player 上多次撰写关于 abc 猜想的文章： 像 abc 一样简单 abc 游戏 ABC 和 FLT
巴特·德·斯米特有一个关于 abc 命中的页面，包括最小的 418 个示例表和一个链接，链接到由小于 18 位数字的整数组成的所有三元组。
对于那些具有扎实数学背景的人，安德鲁·格兰维尔在 2002 年撰写了关于 abc 猜想如何与其他数论重要定理相关的文章。
有关证明的当前状态以及围绕它的争议的信息，请阅读来自 Persiflage 和 Not Even Wrong 的这些帖子（及其活跃的评论部分）。