本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
2003 年，当我还是大学二年级学生时，我很高兴地越来越深入地研究音乐理论和数学。为了配合我的个人风格，我为 20 世纪音乐课的作业写了一个 12 音序列，以表达微积分基本定理的一个陈述。
正如 Vi Hart 在下面的精彩视频中所解释的那样，12 音序列主义是在 20 世纪初提出的，目的是鼓励作曲家摆脱传统的调性，创作出没有任何音符比其他音符更重要的音乐。
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序列作曲家从一个音列开始，该音列是八度音阶中十二个半音（或 12 个钢琴琴键：C-C#-D-D#-E-F-F#-G-G#-A-A#）的排序。
一个键盘草图，显示构成 12 音音列中音符的 12 个音高。来源：Evelyn Lamb，基于Spindoktoren Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
我在我的作品中使用的音列是 F#-A-E-D-C#-F-B-G-G#-A#-D#-C。
我的音列，记在五线谱上。来源：Evelyn Lamb
该音列及其某些修改形式，例如将音列移调到不同的音符开始或倒退演奏，提供了作品中允许的材料。作曲家必须按照顺序使用这些音列中的音高（在任何八度音阶中），然后再重复使用较早的音高。（一些作曲家对规则的解释略有不同，但这就是要点。）这是我的歌曲中人声部分的第一行。
来源：Evelyn Lamb
我的作品绝非天才之作（要聆听 12 音序列天才之作，请查看 Alban Berg 的抒情组曲），但如果我这么说，我的音列还是很棒的。开头和结尾的四音组让人想起传统的调性，但整个音列足够崎岖，足以让事情变得有趣。但我特别自豪于音列的另一个特点：就像《抒情组曲》中的主要音列之一一样，它包含 12 音系统中两个音符之间所有可能的音程。（逻辑上来说，这样的音列被称为全音程音列。）
如果您还不熟悉音乐音程的名称，这没什么大不了的。如果您可以想象在钢琴上弹奏音符，您可以计算钢琴琴键，以半音为单位告诉您音程。我的音列中的第一个音程 F#-A，是一个升小三度或一个降大六度，这取决于作曲家选择 A 比 F# 高还是低。为了实用起见，我将始终参考音程升序版本的半音数，因此 F#-A 是 3 个半音的音程。音列中的下一个音程 A-E 是一个升纯五度，7 个半音。音程 E-D 是 10 个半音，依此类推。我的音列中完整的音程序列是 3-7-10-11-8-6-1-2-5-9。两个连续音高之间的每个音程都不同，这意味着从 1 到 11 的每个可能音程都出现在其中某个位置。
我为找到这个全音程音列感到自豪，这一发现让我想找到更多的全音程音列并弄清楚如何描述它们。最终，我开始注意到我找到的音列中的一些常数：三全音（6 个半音的音程，在我的音列中，在 F 和 B 之间）总是正好在中间，并且音程具有很好的对称性。第一个音程是 12 减去最后一个音程，第二个音程是 12 减去倒数第二个音程，依此类推。考虑此属性的另一种方法是，倒退演奏的音列与原始版本的音列具有相同的音程。
注意到这些模式后，我开始尝试从数学上证明每个全音程音列都必须具有相同的属性。我一直被卡住。诚然，我当时在数学上并不特别精通。我刚刚开始上一门证明入门课，我的数学技能更多的是计算而不是理论。但我缺乏精通，我用时间来弥补。我花了很多时间在这个问题上，但毫无进展。最终我继续我的生活，但这个问题一直困扰着我。多年来，每当我有纸并且非常不想做当时我应该做的事情时，我都会时不时地回到这个问题上。仍然一无所获。
最终，几年前，我决定放弃并看看是否有人为我证明了这个定理。令我震惊的是，我发现这个问题在 1965 年就已被研究过，我错了！（我忘记了尝试证明定理的关键部分：你应该花一部分时间尝试反驳它！）在《新音乐的视角》一篇名为“关于十一音程十二音列”的论文中，Stefan Bauer-Mengelberg 和 Melvin Ferentz 详细描述了他们通过计算机辅助枚举全音程音列的路径。
这篇论文有一些可爱的小细节。在脚注中，作者描述了一些熟悉的感受
通过消除以外的程序获得音程音列的问题已被证明具有高度传染性，在整个 1963 年，作者和他们的许多同事一直在相互再感染。在他们发烧的状态下，他们提出了许多假设，但大多数都被证明是错误的……
得知他们的两个假设与我的假设相同，我感到很欣慰：一个全音程音列在正向或反向阅读时具有相同的音程，并且三全音将在中间。（他们写了前一个猜想，“支持它的有力证据是 [作曲家和音乐理论家] Milton Babbitt 无法立即提出反例。”）但研究这个问题的 IBM 研究人员给了他们两个反例
C-B-D#-F-G#-C#-G-E-D-A-A#-F#
一个反例音列。来源：Evelyn Lamb
C-D#-E-A-B-A#-G#-F-C#-G-D-F#
第二个反例，粉碎了我所有的伟大梦想。来源：Evelyn Lamb
在第一个反例中，三全音（C# 和 G 之间）在音列的中间；在第二个反例中，三全音（也在 C# 和 G 之间）是倒数第三个音程。
Bauer-Mengelberg 和 Ferentz 将音乐条件转化为关于排列的数学问题，并编写了一个计算机程序来查找可以生成全音程音列的所有排列。在 IBM 7094 上运行七分十二秒后，有 1,928 个这样的排列，每个排列都可以用来创建 24 个不同的全音程音列，总共有 46,272 个全音程音列，而在 479,001,600 个可能的音列中，大约是 1/10,000（巧合的是，与一个有 14 个孩子的家庭全部生男孩的几率相似）。
Bauer-Mengelberg 和 Ferentz 希望找到简单的数学条件，使其能够找到并描述所有全音程音列。相反，在进行一些基本的简化之后，他们找到音列的方法归结为蛮力，列出可能的排列并剔除不具有所需属性的排列。这种缺乏结果让他们感到值得注意。他们写道：“事实上，迄今为止获得的最有趣的结果也许是，这些结构的数学特征，正如我们将看到的那样，非常简单，但在某些方面却如此难以分析。”我很高兴不仅是我一个人！
后来的研究，包括 Robert Morris 和 Daniel Starr 的“全音程系列的结构”，提供了一些分类和生成全音程音列的替代方法，但它们仍然有些神秘。没有容易让人类执行的生成它们的配方，并且它们并非都具有相同的属性。我很欣慰，我终于在我对全音程音列进行数学描述的探索中找到了答案，即使这是因为我错了。