本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
这个月，我的数学新闻推送都被两个数论故事占据了：牛津关于abc猜想的研讨会和派珀·哈伦的论文。两者都属于数论领域，但这也就是相似之处的终点。冒着过度解读这两个故事的风险，它们似乎代表了数学领域可能正在发生的文化转变中的两个端点。
abc猜想
数论以拥有许多容易陈述但难以证明的定理和猜想而闻名（孪生素数和考拉兹猜想就是例子）。abc猜想稍微复杂一些。在基本层面上，如果a、b和c是整数且a+b=c，则该猜想将a和b的质因数与c的质因数联系起来；换句话说，它将整数的加法性质与其乘法性质联系起来。（这种联系当然是出乎意料的。没有明显的理由认为11和3的质因数会与14的质因数相关。）
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以下是abc猜想的严格陈述：对于每个ε>0，只有有限多个互质正整数三元组a+b=c，使得c>d(1+ε)，其中d是abc的不同质因数的乘积。这有点拗口，但如果您代入一些数字，您就可以对此有所体会。在11、3和14的情况下，这三个数字的质因数是2、3、7和11，因此d=2×3×7×11=462。462已经远大于14，因此对于这些数字，该表达式是成立的。
2012年，日本数学家望月新一宣布他已经证明了abc猜想，而数学界……挠头不解。当像abc这样的大猜想的证明被宣布时，该研究领域的许多数学家通常会开始阅读证明以确保其正确性，并且期刊会加快同行评审过程，以便尽快发表。
但abc的情况并非如此。许多人尝试了，但望月新一的证明如此冗长和奇怪，以至于极少数数学家，即使是数论专家，也能够在他理解其技术方面取得任何进展。望月新一为解决这个问题而开发的“星际-宇宙泰希米勒理论”几乎是不可理解的。（我研究非星际-宇宙变体的泰希米勒理论，我不知道望月新一的理论是否以及如何相关，但那是改天再讨论的问题。）到目前为止，数论学家尚未就望月新一的证明是否正确达成共识。
本月早些时候，牛津大学举办了一个关于望月新一工作的研讨会，旨在将主要思想快速传播给数论学家，希望他们能够验证该证明。但结果并不尽如人意。斯坦福大学数学家布莱恩·康拉德参加了研讨会，并在mathbabe.org上写了一篇详细的帖子。我从他的帖子以及Felipe Voloch的Google+更新以及《自然新闻》和《量子杂志》的文章中得到的印象是，一些研究人员在理解望月新一理论的一些基础方面取得了一小部分进展，但总的来说，他们对该理论和解释在目前看来是多么晦涩感到沮丧。
解放的数学家
“受人尊敬的研究数学被具有某种态度的男性所主导。” 数学家派珀·哈伦的论文《三次、四次和五次数域整数环的格形分布：艺术家的渲染图》（pdf）的序言以此开头。
整个序言都非常精彩，所以与其试图描述它，不如直接引用它。
“即使考虑到个体差异，仍然存在一种压抑的氛围，这种氛围被那些认为它有利于成功的人小心翼翼地维护甚至拥护。正如任何优秀的博士生都会做的那样，我试图在数学上融入其中。我吸收了这种氛围，并将这些态度铭记于心。我感到痛苦，并且濒临失败。问题不在于个人，而在于一个自我保护的系统，从外部来看，感觉就像是一长串的背叛，有些大，有些小，都是由你唯一的支持系统犯下的。当我将自己从这种环境中物理地移除时，我不知道自己在哪里或该做什么。第一个想法：自由！！！！第二个想法：但是像我这样的其他人呢，他们不以“正确的方式”做数学，但仍然可以为社区做出巨大贡献？我将这两个想法结合起来，从零开始撰写我的论文。例如，有些人试图阅读数学论文，然后会想，“我的天哪，这到底是什么意思，他们为什么不能直接说出他们的意思？？？？”而不是，“啊，多么可爱的结果！”（我甚至无法假装知道“正常的”数学家在阅读数学时是什么感觉，但我知道那不是我的感受。）我的论文在很多方面都不是很严肃，有时是讽刺的，非常坦诚，而且非常像我。它是我的艺术。它是我自己。它在数学上也是我能诚实地做到的最完整的。”
“我不愿意假装所有思考方式都受到同等鼓励，或者不存在非常真实的缺乏多样性的问题。让这个系统对自己感到舒适不是我的职责。这对于快乐的数学家来说可能难以读下去；我唯一的希望是这种挑战被接受。”
接下来是一篇数学论文，充满了真正的数论内容，但以非正式的风格写成，并为外行人、想要大致了解思想的数学家和想要了解一些血淋淋的细节的人清楚地标记了部分。她用独轮车和一群表现良好的孩子来解释概念。还有关于在写论文时临盆的漫画。论文的内容并不简单，但呈现方式却很有趣且令人耳目一新。
哈伦的网站名为解放的数学家，她写道：“我对数学的看法是，它是一个绝对的烂摊子，积极地排斥那些可能使其变得更好的人。我对天才冒充者没有耐心。我想赋能于人民。”
哈伦在她的网站上有一个不情愿的也许是博客，并在mathbabe.org上写了一篇很棒的帖子。在这两个地方，她都说出了我们很多人害怕说出口的话，关于我们为了融入数学界而不得不接受的态度。根据她的论文和博客文章在我的Facebook和Twitter上的传播方式，我认为我不是唯一一个认同她描述的许多感受的人。我当然也感受到了她作为一名刚入学的研究生所感受到的同样的合规压力。正如她所说：“请告诉我为了不掀起波澜我必须遵守的规则！”
我为什么既要写abc猜想又要写派珀·哈伦的论文
在望月新一于2012年声称他已经证明了abc猜想后不久，凯茜·奥尼尔写道，“证明是一种社会建构：如果我只让自己相信某件事是真的，那它就不能构成证明。只有当我能轻易地说服我的受众，即其他数学家，某件事是真的时，它才能构成证明。此外，如果我声称已经证明了某件事，那么说服他人我相信我已经做到了是我的责任；尝试理解它不是他们的责任（尽管如果他们尝试理解会非常好）。” 在同一篇文章的后面，她写道，“我不是说望月新一永远不会证明ABC猜想。但他还没有证明，即使他的手稿中的内容是正确的。为了使其成为证明，应该有人，最好是尝试过的整个专家社区，理解它，并且他应该是解释它的人。”
望月新一没有履行作为证明的社会建构的责任，而哈伦做到了。但这不仅仅是这样。望月新一的作品可能看起来是故意的晦涩难懂，而那些读过并说他们理解它的人可能对其他人的问题不屑一顾（参见伊万·费森科在这篇Not Even Wrong帖子中的评论）。对于abc猜想的情况，很容易同情提问者。如果参加会议的德高望重的数论学家都无法理解星际-宇宙泰希米勒理论，那么问题出在解释上，而不是提问者身上。他们已经赢得了社区的尊重。另一方面，哈伦的工作远远超出了对证明的期望。
在理想的世界中，数学证明只是一种说服其他数学家某件事是真实的方法。但其中包含的包袱不止于此。我们以特定的风格书写数学，这种风格通常会消除直觉、示例和路标。对于每个人都知道什么，都有一套假设，如果你不知道其中一些，那你就要倒霉了。当然，这些假设是有用的；我们必须从某个地方开始。我们不能在每篇论文的开头都定义加法和乘法，但我们也不想灌输许多数学学生所拾起的害怕承认自己无知的恐惧。
大约在同一时间我读到哈伦的论文时，我读到了一篇威廉·瑟斯顿的纪念文章，发表在《美国数学学会通告》（pdf）上，他在MathOverflow个人资料中的一段引言让我印象深刻：
“数学是一个过程，需要足够努力地、足够坚持地盯着混乱和困惑的迷雾，最终突破并获得更高的清晰度。当我至少可以向自己承认我的思维是混乱的时候，我会感到高兴，并且我努力克服我可能会暴露无知或困惑的尴尬。多年来，这帮助我在某些事情上发展了清晰度，但我在许多其他事情上仍然感到困惑。我喜欢看起来真诚的问题，即使它们承认或揭示了困惑，而不是那些看起来旨在展示成熟的问题。”
我很高兴看到一位受人尊敬的、功成名就的数学家持有这种态度，我希望人们能将其铭记于心。对于我们这些不太自信的人，尤其是那些来自数学领域代表性不足群体的人来说，公开接受它是很困难的。我钦佩哈伦，不仅因为她试图揭开帷幕，帮助人们理解他们可以理解数学，还因为作为一名有色人种女性，她可能为此付出更高的代价。在瑟斯顿身上被视为谦逊、诚实和令人钦佩的品质，在来自不同背景的人身上可能被视为无能的迹象。（正如经常发生的情况，有一个相关的xkcd漫画。）
这就是为什么哈伦的工作更加必要。正如她在论文中所写，她希望向学生传达“1) 你不应该期望在你阅读时理解每一个字，2) 你可以在成功理解数学之前成功地使用数学，以及 3) 对你的理解保持诚实必须是可以接受的。” 我希望更多年轻的数学家能吸取这些教训，并且不要害怕暴露他们的无知。
关于这两个故事，我认为另一件有趣的事情是谁报道和分享了它们。我的数学朋友疯狂地分享哈伦的论文，而我从关注科普的非数学家那里看到了更多关于abc猜想的信息。这不是一个二元对立的事情；数学家分享了关于abc猜想的文章，非数学家撰写了关于哈伦论文的文章，但在我看到的范围内，在很大程度上是相反的。
我不完全确定从故事的分享方式中得出什么结论，但它感觉很重要。我认为这说明了数学家
呈现自己允许他人呈现他们的方式。在某种程度上，我们希望别人把我们放在神坛上。当有人传递“哦，这太复杂了——你不会理解的”的信息时，我们并不真的介意。
另一方面，数学界内部对哈伦工作的强烈积极反响表明，数学界的许多人渴望一些不同的东西。即使对于那些现状对他们有效的人（毕竟，他们仍然在那里），也认识到当我们为某些群体的人设置障碍或鼓励人们采纳哈伦在她的论文中写到的“某种态度”时，数学会遭受损失。
abc猜想是否代表着垂死的旧卫道士，而派珀·哈伦是否代表着未来的方向？我猜想没有那么戏剧性的事情正在发生。但数学家应该思考他们想如何解释数学，以及他们在过程中邀请了哪些人，又排除了哪些人。