本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
当我开始写关于我最喜欢的拓扑空间时，我就知道我总有一天要面对开集。在拓扑学中，仅仅通过说明空间中包含哪些点来定义空间是不够的。每个拓扑空间都带有“包袱”：开集。只有几个规则：全空间和空集都必须是开集，任意有限个开集的交集必须是开集，并且任意集合的并集或组合也必须是开集。
在某种意义上，所有开集都是数轴上像 (0,1) 这样的开区间的推广。（如果数学符号对您来说已经是很遥远的记忆，那么这里的括号表示我们包括所有大于 0 且小于 1 的数字，但不包括 0 和 1 本身。如果我们想包括端点，我们会写成 [0,1] 并称其为闭区间。）为了满足上述所有要求，我们还声明空集是开集，无界区间也是开集，例如所有大于 3 的数字的集合，我们将其写为 (3,∞)，并且开区间的集合也是开集。
但是我们可以对哪些集合是开集做出不同的决定，最终得到不同的拓扑空间。标准拓扑的一种替代方案称为下限拓扑。在这种拓扑中，开集是半开区间：例如 [0,1)。唯一的区别是我们现在包括了左端点。当我们分析开集的并集必须是开集的规则时，我们发现当我们定义像 [0,1) 这样的集合为开集时，我们也得到了像 (0,1) 这样的集合。因此，下限拓扑肯定与标准拓扑不同：标准拓扑中的所有开集在下限拓扑中也是开集，但下限拓扑也具有标准拓扑中没有的其他开集。
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我们为什么要关心开集？我无意告诉您感受，但数学家关心开集是因为它们使我们能够确定非常抽象空间上函数的性质。
不连续性。图片来源：艾伦·乔伊斯，来自 Flickr。
空间之间函数最重要的性质是连续性。对于像数轴（使用通常的拓扑）这样的空间，连续性在直觉上是显而易见的：如果可以在不拿起笔的情况下绘制其图形，则函数是连续的。任何地方都没有大的跳跃。
连续性的直观定义要求我们能够测量点之间的距离，但是有时数学家希望能够为空间之间不一定具有内置距离函数的函数定义连续性。连续性的拓扑定义仅需要开集。如果每个开集的原像都是开集，则函数是连续的。集合的原像只是映射到该集合下的点的集合。例如，如果函数是 f(x)=x2，则 1 的原像是由点 1 和 -1 的并集。
为了了解开集对连续性的重要性，让我们回到数轴。以开区间作为开集的标准拓扑仅仅是开始。使用该拓扑，连续函数正是我们所期望的：没有大的跳跃。最简单的替代拓扑是非离散拓扑。在非离散拓扑中，我们确定唯一的开集是整条线和空集。毕竟，我们是很忙的人，我们还有其他重要的事情要做。现在让我们考虑一个从数轴到自身的函数，它具有非离散拓扑。无论函数是什么，我们只关心整条线的原像，因为那是唯一重要的开集。如果函数定义在整条线上，那么线的原像就是整条线，一个开集。因此，如果目标空间具有非离散拓扑，则任何函数都是连续的。
另一方面，离散拓扑变得很小。在离散拓扑中，每个单独的点都是一个开集。然后，开集的规则声明点的每个组合都是一个开集。尽管这在某种程度上与非离散拓扑相反，但它也具有大大简化确定函数是否连续的过程的效果。如果您有一个来自具有离散拓扑的数轴的函数，则函数甚至目标空间是什么都无关紧要。该函数将是连续的，因为离散拓扑中没有非开集。
当学生第一次接触初级拓扑学时，他们有时会对他们所拥有的权力感到迷惑。数学空间并不总是配备它们的开集，因此我们可以通过法令来定义它们。当然，有些开集比其他开集更有用，但最终，我们是我们拓扑命运的主人。