本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
今年夏天早些时候，我在英国待了大约一个月，这意味着我乘坐了很多次火车。我喜欢坐火车：当我看着出发指示牌时，那种无限可能的感觉，窗外掠过的乡村景色，精彩的路人观察，
爱丁堡和曼彻斯特之间因我们前方轨道上的一列火车被困而延误两小时，当然，还有火车路线的数学特性。我花很多时间在火车上，或者实际上在任何交通方式上，思考度量。
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从最抽象的意义上讲，度量是一个接受两个输入并输出一个正数（或零）的函数。 不那么正式地说，它是一种计算两点之间距离的方法。 我们最熟悉的度量是“直线距离”度量：在平坦的纸张或地图上的距离。
为了符合度量的资格，一个函数必须遵守一些规则。 首先，如上所述，它必须是非负的。 它必须使从 A 到 B 的路线长度与从 B 到 A 的路线长度相同，并且当（且仅当）被问及从任何点到自身的距离时，它必须给出输出 0。 最后，如果您正在查看空间中的任意三个点，则从 A 到 C 的距离必须小于或等于从 A 到 B 的距离加上从 B 到 C 的距离。 我们将此属性称为三角不等式，因为它很容易用三角形的图片来说明。
三角不等式指出，从 A 到 C 的距离（三角形的底边）必须小于从 A 到 B 的距离加上从 B 到 C 的距离。 换句话说，三角形的任何一条边都比另外两条边加起来短。 图片来源：Evelyn Lamb。
两点之间的直线距离是度量的标准示例，但在日常生活中还有许多其他自然而然出现的度量。 要从我的公寓到图书馆，我不能斜穿过街区。 我必须沿着街道走，所以我必须向南走几个街区，然后再向东走几个街区。 标准度量会低估我走到那里必须走的距离，所以我需要一个新的度量，一个考虑到街道实际布局的度量。 网格系统的城市的度量通常被称为“曼哈顿度量”或“出租车度量”。 （“盐湖城”度量将是它的另一个好名字。我们城市的街道非常网格化！）
回到火车，有一种度量有时被昵称为“SNCF”，以法国国家铁路系统命名：为了从法国的任何一点到达法国的任何另一点，您必须乘坐火车到巴黎，然后再从巴黎乘坐火车到您的目的地。 连接已经变得更好，但在我的法国火车体验中，这种描述似乎很贴切。 （该度量有时也称为英国铁路度量，伦敦取代了巴黎的角色，但这对我来说似乎不太公平。 “边疆航空度量”也将是一个不错的名称，丹佛取代了巴黎。）
但是我想考虑一种不同的衡量火车“距离”的方式。 当我乘坐火车时，我实际上并不关心我行驶的英里数。 我关心的是价格和/或所需的时间。 通常这些与距离相关，但相关性并不完美。 时间和价格在数学上并不总是度量：中途停留的安排可能很容易使从 A 到 B 的行程比从 B 到 A 的行程更长。 但我震惊地得知英国火车票价甚至不满足三角不等式！
是的，如果您想乘坐火车从英国的 A 点到达 C 点，有时购买两张票更便宜：一张从 A 点到 B 点（沿途的某个地方），另一张从 B 点到 C 点。 这不一定只是几便士的问题。 上面链接的文章给出了在某些行程中节省超过 50% 的例子。 他们说从伯明翰到布里斯托的单程票价为 42.10 英镑，但从伯明翰到切尔滕纳姆的票价为 17.90 英镑，从切尔滕纳姆到布里斯托的票价为 7.30 英镑，总成本为 25.20 英镑。 （这篇文章发表于 2009 年 11 月，所以价格可能从那时起就发生了变化。） 有多个网站致力于帮助精明的旅行者利用火车票价的非度量性质。 但我有点反感，这竟然是可能的。
作为一名经常乘坐飞机的人，我意识到机票的价格可能是不透明的，但这与在合适的日子购买或在周三飞行以省钱无关。 分段购票可以用于在同一时间购买的同一行程。 您作为乘客的体验将完全相同，除了您必须交出两次票而不是一次，并且您将为此支付更少的钱。 对于航空旅行，有时有中途停留的航班比没有中途停留的航班便宜，但这两次旅行的乘客体验非常不同。 此外，如果您实际上将机票作为两个单独的航班购买，我很确定成本会高于将它们作为一个行程购买。 也许我对火车分段购票也很生气，因为我认为航空旅行是一个完全不合理的系统，所以其奇怪的定价方案感觉不像违反自然规律，但我对火车期望更高。 罪魁祸首似乎是各种不同的火车公司，他们为行程的不同部分设定价格。
我自己没有体验过分段购票，因为我购买了铁路通票。 我不知道它是否为我节省了很多钱，但它肯定为我节省了弄清楚票价复杂性的时间和麻烦。 另外，我认为这是对非度量距离函数的适当抗议。