本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
不久前，一位从事销售的朋友问了我一个问题。假设一家公司根据以某个价格销售一定数量的单位来预测收入。他们最终以较低的价格销售了较少的单位，因此他们未达到收入预测的某个金额。其中有多少金额可以归因于价格降低，有多少可以归因于销量减少？
为了用具体的数字来说明这个问题，一家公司计划以每个 1000 美元的价格销售 500 个小部件，总计 50 万美元，但他们只以每个 800 美元的价格销售了 450 个，总计 36 万美元。我的朋友想知道 14 万美元的收入缺口中有多少百分比是由于价格降低造成的，有多少百分比是由于销量减少造成的。从表面上看，这个问题似乎很简单：每个百分比都应该是 14 万美元缺口的一部分。但是，当正数和负数都存在时，查看百分比是冒险的。
我应该在这里说明，我一生中总共只上过一门经济学或商业课程，而且可能存在 MBA 认可的公式来进行此类计算。但我不会去查阅。相反，我想看看一种朴素的数学方法会把我带到哪里。
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我的朋友说，他思考这个问题的一种方式是考虑替代方案：如果公司达到了销售数量，但价格较低，那么它将赚到 40 万美元；如果它以目标价格销售了较少数量的单位，那么它将赚到 45 万美元。在第一种情况下，他们少了 10 万美元，占 14 万美元的 71%；在第二种情况下，他们少了 5 万美元，占缺失资金的 36%。不需要太多的高深数学就能看出问题所在：这两个缺口加起来占缺失收入的 107%。
我的朋友认为，将 2/3 的缺口归因于价格降低，将 1/3 的缺口归因于销量减少可能是有道理的，因为第一种情况下的缺口是第二种情况下的两倍。
我认为这不是一个糟糕的主意。如果一位咆哮的高管要求你给出两个数字来解释为什么收入下降（我对商业世界的理解主要基于《泰德妙计》），我认为你可以做得比将 2/3 归因于低价，将 1/3 归因于低销量更糟糕。但这是一种冒险的做法。如果降价最终推动了更多销量呢？
在这种情况下，公司可能以每个 800 美元的价格销售了 550 个单位，总收入为 44 万美元。他们仍然没有达到预计的销售额，这次少了 6 万美元。当我们尝试分解它时会发生什么？如果他们以 1000 美元的“正确”价格销售了 550 个单位，他们将赚到 55 万美元；如果他们以 800 美元的价格销售了正确数量的单位，他们将赚到 40 万美元。盲目地应用与之前相同的推理，降价导致了 6 万美元收入缺口中的 10 万美元，而销量变化导致了 -5 万美元。降价导致了 167% 的收入短缺吗？销量增加导致了负 83% 吗？稍作改变，这种方法就遇到了严重的问题。
这就是当数字可能为负数时，查看百分比的危险。乔丹·艾伦伯格在他的书《不犯错的数学思维》和Slate 摘录中举了一个很好的例子。2011 年 6 月，美国净增就业岗位 18,000 个。威斯康星州当月净增就业岗位 9,500 个。政客们宣称“6 月份美国超过 50% 的就业增长来自我们州。”但是明尼苏达州增加了 13,000 个工作岗位呢？或者其他也有正就业增长的州呢？问题是一些州增加了就业岗位，而另一些州则失去了就业岗位。正如艾伦伯格写道，“将负数混入其中，百分比就会变得古怪。”
回到我朋友最初的小部件问题，我认为最好用 FOIL 法来思考它。对于 Nix the Tricks 中的优秀指南，我深感抱歉，该指南敦促教育工作者不要使用可能成为拐杖或掩盖数学概念问题的技巧和助记符，FOIL 法在我很小的时候就深深地印在我的脑海中，它将永远是我思考多项式乘法的方式。
对于那些有摒弃技巧的老师的人来说，FOIL 是一种助记符，用于将分配律应用于两个都有两部分的表达式。例如，取 (2x+1)×(x+3)。要找到它们的乘积，将第一项 (2x2)、外项 (6x)、内项 (x) 和最后一项相乘，并将它们全部加在一起，得到 2x2+7x+3。
为了将我朋友的问题放入相同的形式，我们可以将每个术语视为目标数字减去缺口。公司想销售 500 个小部件，但只销售了 450 个。它希望每个小部件的价格为 1000 美元，但实际上只有 800 美元。所以他们的收入是 (500-50)×(1000-200)。在这种形式下，我们可以清楚地看到发生了什么。(500-50)(1000-200)=500,000-100,000-50,000+10,000。最后一项是我们一开始所做的朴素赤字计算的偏差。较低的价格和较低的销量的结合意味着他们未能售出的每个小部件对他们收入数字的损害并没有他们错过全价销售时那么大。
在我的另一个例子中，他们以每个 1000-200 美元的价格销售了 500+50 个单位，总收入为 500,000-100,000+50,000-10,000 美元。最后一项表明，较低的价格意味着每次额外销售的帮助都比预期的要少。
我并不是建议将 FOIL 法作为解决涉及负数和百分比的每个问题的答案——例如，我不明白它如何应用于威斯康星州 2011 年 6 月的就业增长——但在我朋友的收入分析案例中，我认为它可能会为讨论增加一些内容。它不像一个数字那样简洁地概括了公司的所有问题，但它也不会冒着将 167% 的收入缺口归因于成本，将负 83% 归因于小部件销量的风险。