本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
普林顿 322，一块古代美索不达米亚数学泥板，其用途仍然是个谜。图片来源：公共领域，通过维基共享资源。
正如我在周四告诉我的班级一样，我们的数学史课程第一周的主题是“以 60 为基数的简单代数很难”。我们本学期从古代美索不达米亚开始，试图理解巴比伦*数学符号并解读普林顿 322，这是一块来自公元前 1800 年左右的神秘泥板。
巴比伦数字系统使用 60 进制（六十进制）而不是 10 进制。他们的符号系统并不难破译，部分原因是他们使用了位值记数系统，就像我们一样。对我们来说，数字 2 可以表示 2、20、200 或 2/10 等等，具体取决于它在数字中的位置。25 表示“两个十，五个一”。52 具有相同的符号，但它表示“五个十，两个一”。同样，60 进制中的 1,3 表示“一个六十，3 个一”，即 63，而 3,57 表示“三个六十，五十七个一”，即 237。
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您将有助于确保未来能够继续讲述关于塑造我们当今世界的发现和思想的具有影响力的故事。
我和我的学生在解读这些数字时遇到的最大困难不是需要跟踪那么多额外的数字。事实上，这部分非常容易。与我们今天使用的印度-阿拉伯数字不同，巴比伦数字“看起来像”它们所代表的数字。
巴比伦数字出奇地容易解读。图片来源：公共领域，通过 sugarfish 和维基共享资源。
不，我们遇到的最大问题是“无”。或者更准确地说，是缺少“无”。巴比伦人没有零的符号。这有一定的道理。我们为什么需要一个字面意思为“无”的符号呢？但是，零使我能够区分 1 和 10，1,000,000 和 0.1。没有零，我们写的数字本质上是含糊不清的，我们必须使用上下文线索来弄清楚在给定情况下意味着什么数量级。
我应该说，巴比伦人没有零符号的说法并不完全正确。在我们在课堂上研究的泥板普林顿 322 中，数字之间存在一些间隙，这些间隙表示数字中间的零，就像 101 中的 0 表示零个十一样。后来，他们添加了一个零符号，但它仅用于数字中间的零，从不在两端使用。这样，他们就可以区分数字 3601（写成 1,0,1）和 61（写成 1,1）。但是 60 和 1 始终以相同的方式书写。他们从未飞跃到在数字末尾使用零符号以完全消除歧义。有记录的最古老的零出乎意料地现代化：它位于印度的一座寺庙中，其历史可追溯到公元 875 年左右。
缺少零的一个奇怪后果体现在倒数上。我们通常认为倒数是像 2 和 1/2 这样相乘等于 1 的数字对。但是，巴比伦倒数表（使计算更快）将任何两个相乘得到 60 的幂的数字列为“倒数”。例如，5 和 12 在这种意义上是“倒数”，因为它们相乘等于 60。为什么倒数的这种定义有意义呢？因为当你在没有零的 60 进制中书写时，60 看起来就像 1！1/60、3600 和任何其他 60 的幂也是如此。这就好像我们将 4 和 25 视为倒数，因为它们相乘等于 100。只有当我们没有零时，这才有意义，这样 1 和 10 看起来才相同。
当然，有一种方法可以将巴比伦符号中的 5 和 12 解释为传统意义上的倒数，这又是由于缺少零而增加的歧义造成的。如果我们将 12 解释为 12/60 (1/5)，那么我们可以将其乘以 5 得到 1。或者，我们可以将 5 解释为 5 个六十 (300)，将 12 解释为 12/3600。这些数字相乘也等于 1。我不知道使用这个系统的人们真正是如何看待倒数的。
我们在课堂上花了一些时间计算巴比伦“倒数”（pdf），这出奇地困难。我一直告诉我的学生，他们可以假设数字具有他们想要的任何数量级。但是我们太习惯于数字是完全具体的，以至于额外的自由度似乎使事情更加混乱。
我告诉我的学生，本周的主题是“以 60 为基数的简单代数很难”，但这并不是真正的重点。基数并不是使以 60 为基数的计算变得困难的原因，而是制定它的那个民族的数学文化与我们的文化截然不同。更准确的口号应该是“4000 年后，用完全不同的数学观点来看，简单的代数很难”，但它不太朗朗上口。
要了解更多关于巴比伦数学的信息，请参阅 Duncan Melville 的美索不达米亚数学页面。要了解更多关于普林顿 322 的信息，请访问 David Joyce 的数学史网站或阅读 Eleanor Robson 的文章 既不是夏洛克·福尔摩斯也不是巴比伦：对普林顿 322 的重新评估 (pdf)。
*我在本文中互换使用“巴比伦”和“古代美索不达米亚”。巴比伦只是古代美索不达米亚的一个城市，但这种用法相当标准。