2015年5月28日

我最喜欢的一些空间：拓扑学家的正弦曲线

拓扑学家的正弦曲线是一个经典的例子，它展示了一个连通但不路径连通的空间：你可以看到终点线，但你无法从这里到达那里。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。

初学分析学和拓扑学的学生会接触到集合的四个基本性质：开集、闭集、紧致和连通。在这些性质中，连通性似乎应该是最容易理解的。连通在英语中有一个相当清晰的含义。但是，要准确地给出数学定义却出乎意料地困难。拓扑学家的正弦曲线是例子之一，它有助于阐明连通到底是什么意思。

作为一个常用的英语单词，我们通常认为连通性是两个事物的属性：A和B是连通的，如果它们在某种程度上重叠，或者如果你可以从A到达B。在数学中，连通性是一个集合的属性。我们如何将英语的概念数学化并将其应用于一个对象呢？一个诱人的定义是，如果可以从集合中的一个点到达集合中的任何其他点，则该集合是连通的。但是复式住宅呢？你可以在同一单元的房间之间走动，但你不能在不离开复式住宅的情况下从一个单元到达另一个单元。复式住宅是连通的吗？我认为是连通的。所以这还不是连通的正确定义。能够到达集合中任意两点之间是一个非常有用的数学性质，但它太强了。数学家将具有该性质的空间称为路径连通，我们稍后会更多地讨论它。

连通性要稍微微妙一些。对于我们的第二次尝试，我们将从这里开始：一个集合X是连通的，如果你不能将它的一部分放在集合A中，其余部分放在集合B中，以使A和B不重叠。但这里有一个小问题：这个定义完全没用。它会使太多的空间变成不连通的。我们可以将所有实数的集合分成大于或等于0的数和小于0的数。这些集合不重叠，所以按照我们的定义，实数轴将是不连通的。显然，实数轴应该是连通的，任何使其不连通的定义都是错误的。

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问题是什么？我们将边界点0包含在一个集合中，但没有包含在另一个集合中。如果我们把0同时包含在两个集合中，这两个集合就会重叠；如果我们都不包含0，这两个集合就不会重叠，但它们也不会覆盖整个实数轴。“正确”的答案是从两个区间中都排除端点。不包含端点的区间称为开区间，所以我们说，如果不能将集合X的一部分放在一个开集A中，其余部分放在一个开集B中，且A和B不重叠，则集合X是连通的。这个定义不仅适用于一维集合；我们也可以在高维空间中定义开集。基本上，一个集合是开集，如果它的任何点都不在边界上，或者等价地，如果集合中的每个点周围都有一个小“blob”也包含在该集合中。

做了这么多工作才定义了连通性！现在是收获的时候了。看，拓扑学家的正弦曲线！

这个空间是函数 f(x)=sin(1/x) 在区间 (0,1] 上的图形，并与点 (0,0) 连接而成。我们可以看到，当 x 接近 0 时，1/x 变得越来越大，因此 sin(1/x) 在 -1 和 1 之间剧烈振荡。

拓扑学家的正弦曲线是数学学生将看到的第一个例子之一，它展示了一个连通但不路径连通的集合。你可以看到终点线，但你无法从这里到达那里。

为什么它是连通的？让我们尝试将其放入两个不重叠的开集中。其中一个集合必须包含点 (0,0)； поскольку它是开集，它也必须包含 (0,0) 周围的一个“blob”。无论这个“blob”有多小，它都将包含一些 x 坐标为正数且 y 坐标为 0 的点，这意味着它将包含 f(x) 图形的一部分。这意味着，如果我们想断开这个空间，我们将不得不将 f(x) 图形的一部分放在一个集合中，另一部分放在另一个集合中。但是没有办法分割这个图形。它是一条连续曲线，所以像实数轴一样，它是连通的。

为什么拓扑学家的正弦曲线不是路径连通的呢？假设您尝试从 f(x) 图形上的一个点到达点 (0,0)。您必须沿着图形朝 (0,0) 方向走，但您会被困住，永远走不完。你会非常非常接近，但你总会有一条无限长的路在前方。

一个非常相关的空间是闭拓扑学家的正弦曲线。一个闭空间包含其所有边界点，即任意接近集合中点的点。由于曲线 f(x) 的振荡方式，y 轴上 -1 和 1 之间的所有点都非常接近曲线上的点，因此为了闭合拓扑学家的正弦曲线，我们也将该线段包含进来。这不会破坏其他拓扑性质——它仍然是连通的但不是路径连通的——但现在它也是闭集了。有些人喜欢这种东西。

如果您以前上过拓扑学课程，您可能已经见过称为紧致性的拓扑性质的定义：如果集合的每个开覆盖都具有有限子覆盖，则该集合是紧致的。拓扑学家的正弦曲线不是紧致的，但闭拓扑学家的正弦曲线是紧致的。本着让各处数学教科书都感到沮丧的精神，我给读者留一个练习：找到拓扑学家的正弦曲线的一个没有有限子覆盖的开覆盖，并弄清楚为什么这个例子不适用于闭拓扑学家的正弦曲线。将您的答案写在 [0,1] 区间的闭集、不可数、无处稠密的子集的背面，并将其发送到 Cantor Plaza，Box Log₂(3)。