2015年12月30日

我最喜欢的空间：三环面

生活在三维环面中将是自恋者的梦想。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

在《星际迷航：下一代》剧集“寂静何处”中，“进取号”飞入一个虚空。为了摆脱困境，他们放下了一个固定的信标（先别管信标在太空中保持静止意味着什么，或者你如何让它停留在那里），以便更好地测量他们走了多远。当他们飞走时，信标离他们越来越远，直到开始靠近。最终，他们返回到了他们开始的地方。

“进取号”对虚空进行的探索不足以让我们确定，但他们很可能意外地漫游（或者被类神生物纳吉拉姆拉入）到了一个三环面中。就像二维环面（可以表示为相对边粘合在一起的正方形）一样，三环面可以表示为相对面粘合在一起的立方体。当您向前或向侧面移动时，您最终会在立方体的对面重新出现。当您向上移动时，您最终会在立方体的底部重新出现。

三环面的立方体模型。我们想象将匹配的箭头粘合在一起，因此正面粘合到背面，左侧粘合到右侧，顶部粘合到底部。图片来源：UIUC。

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二维环面很容易在许多不同的配置中想象，但三环面更难可视化。对于二维环面，正方形图片在某种程度上有所帮助，但甜甜圈图片让我更好地感受到生活在环面上会是什么样子。对于三环面，我没有足够的维度可视化来像那样整体地看待它。我可以尝试通过 mentally 一次粘合一个面。首先，顶面粘合到底面，形成一个具有正方形横截面的实心环面（基本上是一个正方形甜甜圈）。然后我们将左侧粘合到右侧，最终看起来像一个内部部分被吞噬的甜甜圈。但下一步是将内部粘合到外部。这在三个维度上效果不太好。

通常，当拓扑学家或几何学家被问及她的研究的应用时，她会含糊其辞地谈论宇宙的形状，然后试图用庞加莱圆盘的漂亮图片来分散对方的注意力。（或者那只是我？）但三环面可能实际上与宇宙的形状有关。拓扑学和几何学为我们提供了对所有可能的三维形状（也称为三维流形）进行分类的方法。根据我们可以确定宇宙具有的属性，我们可以缩小宇宙形状的选择范围。

我不是天体物理学家，我也没有及时了解可能帮助我们确定空间形状的最新测量结果，所以我不知道目前关于宇宙形状的想法是什么。但如果它是一个环面呢？三环面的另一种可视化向我们展示了生活在环面中会有多么奇怪。

三环面的另一种可视化。我喜欢称之为无限脚手架。有关更大的图像，请点击此处。图片来源：Jeff Weeks。

这个无限脚手架扭曲了三环面的一个重要特征：三环面是有限的，而这张图片看起来是无限的。但它更多地揭示了生活在环面中会有多么令人迷失方向。

再次，让我们退后一个维度，思考二维环面的类似图片。这将是平面上的无限网格，而不仅仅是一个正方形。我们只需要记住，平面上两个不同正方形中相对位置相同的点实际上是同一点。

一个带有可爱美人痣的环面以三种不同的方式描绘。顶部是作为无限晶格。每个正方形实际上都是同一个正方形。中间只是一个正方形（相对边在脑海中粘合在一起）。底部是它作为甜甜圈形表面的实现。

如果您生活在环面（二维或三维）中，并从一个点向外看，您的视线可能会在环面上缠绕多次。

从环面中的一个点发出的线，以三种不同的方式描绘。我在二维环面中而不是三环面中绘制了这个，因为我的插图技巧仅限于此，但您可能能够想象在三环面的无限脚手架图片中发生类似的事情。

如果您从三环面中的一个点直视上方，您会看到自己脚的底部。根据您的角度和视觉敏锐度，您的视线理论上可以无限次地缠绕在环面上。如果您环顾四周，您会看到无数个自己的副本。这是自恋者的梦想。

如果我们确实生活在三环面中，当然，它有点太大了，我们看不到自己的后背，这是一种解脱。不过，我想知道我们是否会永远确切地知道我们居住的流形是什么。