我最喜欢的空间：SNCF 度量

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

根据网站 Planetmath，“特别恶意的谣言说，如果你想乘坐火车从法国的 xx 到 yy，最有效的解决方案是将问题简化为从 xx 到巴黎，然后再从巴黎到 yy。”

这确实只是一个谣言，但实际上并没有太离谱。是的，你可以从南部的马赛到尼斯，而无需先去巴黎，但试着从西部的波尔多到布雷斯特，而无需先向东前往巴黎。

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巴黎作为法国铁路系统 (SNCF) 的枢纽的作用，使得数学家们（也许过于渴望展示他们了解现实世界）将其名称赋予了一种特殊的测量二维平面距离的方式。

以下是它的运作方式：点 (0,0)，也称为原点，是特殊的，要在平面上的任何其他两点之间移动，您只能沿直线前往原点。这意味着如果点 *a* 和 *b* 在来自原点的同一射线上，您可以像平常一样沿着该射线从一个点移动到另一个点。但是如果它们在不同的射线上，您必须一直走到原点，然后再折返回来。

尽管 SNCF 度量最初看起来很人为，但它实际上相当让人联想到一些现实世界的旅行情境。我见过它被称为英国铁路度量和邮局度量，但它也可以很容易地是边疆航空度量、芝加哥交通管理局度量、“条条大路通罗马”度量，或者可能是来自许多其他主要城市或国家的度量。两点之间的直线距离很少能真正作为它们之间的一种可行方式。在小范围内，例如在社区中，另一种度量——有时称为 出租车几何——占主导地位。基本上，你只能在道路上行驶，因此在具有网格系统的区域中，两点之间的总距离是它们南北坐标之间的距离加上它们东西坐标之间的距离。但在更大的范围内，事情变得更像 SNCF 度量。我们先到达一个枢纽——可能是机场、火车站或主要高速公路——然后再沿着主要路线前往我们的下一个目的地。

但是，尽管它与您熟悉的地方和经验相似，但数学空间变得有点奇怪。在现实世界中，如果您站在离某个点几英尺远的地方，但不在从原点发出的同一射线上，您只需走过去即可。你不需要先坐火车去巴黎。但是数学版本的 SNCF 度量并没有那么宽容。例如，距离原点都是 1 个单位的两个点，例如点 (1,0) 和 (0.996,0.087)，在 SNCF 度量中距离为 2，因为如果您站在一个点，您不允许侧身走到另一个点。您必须先走到原点。事实上，任何两个距离原点 1 个单位的点彼此之间的距离都是 2 个单位。

数学家感兴趣的相关属性是哪些点在距任何给定点一定距离之内，或者正如数学家所说，开集 在空间中是什么样的。在通常的测量距离方式中，例如，距给定点 1/4 个单位内的所有事物都围绕该点形成一个小圆球。但是在 SNCF 度量中，邻域只是小线段，至少如果你离原点足够远的话。

以一种奇怪的、软绵绵的、拓扑的方式，这个事实使平面变得更大。就像 我在二月份写的长线 一样，SNCF 度量不是 *第二可数的*。这是一种花哨的说法，表示无法使用一个小的（但仍然是无限的）集合来构建该集合。确切的定义变得非常技术性，而且说实话，即使在我上完第一堂拓扑课十几年后，我仍然总是需要查阅细节，所以我在这里就不深入探讨了，但基本问题是开集不够“胖”，因此需要太多开集才能覆盖空间。通常距离度量中的开集就像泼溅的油漆。用它覆盖画布并不太难。SNCF 度量中的开集就像细头发。用单根头发的刷子填充画布需要多长时间？

我选择在本月撰写关于 SNCF 度量的文章，因为我现在住在巴黎，所以我明白这个笑话。但它也很有吸引力，因为它让我思考数学如何反映和不反映现实世界的情况。据我所知，SNCF 度量并非旨在阐明法国交通，但思考将任何真实地点强行塞进过于僵化的数学模型中的荒谬性就很有趣。或者如果那是我的乐趣，我可能需要在法国多待一段时间。有很多地方我可以乘火车去参观！

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