本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我在巴黎，在街道上漫步街道以女数学家的名字命名，并且越来越接近玛丽·居里，这一切都因为法国数学家亨利·庞加莱。我的配偶目前正在亨利·庞加莱研究所工作，我随行而来。自从来到这里，我就一直想写一篇关于庞加莱同调球面的文章来纪念他，但每次尝试都感到难以承受，结果我写了其他的东西。
至少有八种定义庞加莱同调球面（pdf）的方法，其中至少有七种需要大量的精妙数学工具才能理解。它们都指向相同的空间，但空间不同定义之间的联系很难看清。我不想永远推迟写庞加莱同调球面，所以我打算直接开始。但是，我不打算立即描述这个空间，而是要告诉你我为什么关心它。
拓扑学——以及一般数学——的核心主题是确定两个空间是否相同。拓扑上的相同性是相当宽松的。如果你可以通过拉伸或挤压将一个空间变成另一个空间，只要你不撕裂或粘合任何东西，那么这两个空间在拓扑上是等价的。正如笑话所说，拓扑学家无法区分咖啡杯和甜甜圈，因为它们都只有一个孔，如果你把杯子中盛放液体的部分向下挤压，你就可以把咖啡杯变成一个不太美味的甜甜圈。
关于支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道： 订阅。通过购买订阅，您将有助于确保未来能够继续报道关于发现和塑造我们当今世界的想法的具有影响力的故事。
评估拓扑等价性可能很困难，因为它非常灵活。仅仅因为你没有立即看到将一个形状挤压成另一个形状的方法，并不意味着你最终找不到。拉伸和挤压任何形状的方法有无数种，你不可能尝试所有的方法来弄清楚两个空间是否等价。如果你认为这个问题在三维空间中可能很困难，想象一下你正在尝试评估两个无法可视化的、高维物体的拓扑等价性。直觉可能帮不了你太多。
早期的拓扑学家想要尝试找到区分空间的方法，通过寻找不变量：可以分配给每个空间的数字或其他数学对象。理想情况下，具有相同不变量的两个空间将是相同的空间，而具有不同不变量的两个空间将是不同的空间。庞加莱提出了贝蒂数，这是一种非正式的方式来编目空间中不同维度的孔，以及挠系数，它在某种程度上跟踪了扭曲度。在 1900 年的一篇论文中，庞加莱推测这些贝蒂数和挠系数（今天也称为同调）可以告诉你一个空间是否是球面。
几年后，庞加莱表明他错了。他提出了第一个所谓的同调球面：与球面具有相同同调，但在拓扑上不等价于球面的空间。
当我说球面时，你可能会想到沙滩球，但是每个维度都有球面，庞加莱特别研究的是 3 维球面，它自然地位于 4 维空间中。（数学家将沙滩球描述为 2 维球面，因为生活在其表面上的微小生物会感觉自己生活在二维平面上。）
庞加莱对同调球面的发现促使他完善了他的猜想，即现在所知的庞加莱猜想。他添加了另一个不变量，称为基本群，并认为如果流形具有与球面相同的同调和基本群*，它必须是球面。庞加莱使用同调球面的基本群来证明它在拓扑上与球面不同。
庞加莱猜想是 2006 年最终被证明的最重要的未解决猜想之一，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了证明的最后润色。（他因此问题成为千禧年大奖难题之一而闻名地拒绝了百万美元的赏金。事实上，他拒绝的奖金目前正在资助将我的配偶带到亨利·庞加莱研究所的项目。）庞加莱猜想的解决是 21 世纪迄今为止最重要的数学突破。
因此，庞加莱同调球面是过去 100 年来最引人入胜的数学研究领域之一故事中的重要人物。但它到底是什么？庞加莱最初定义同调球面的方法是通过一种称为 Heegaard 分解的技术。它基本上涉及观察两个实心的双孔甜甜圈，并以仔细规定的方式将它们粘合在一起。这篇文章顶部的图表来自他 1904 年首次描述它的论文。现在，一种更广为人知的定义它的方法是从十二面体开始，十二面体是由十二个五边形组成的形状。（根据我的经验，如果你提到庞加莱同调球面，数学家会想到这个。）我不想重新发明轮子，我将把你推荐到 Yen Duong 在 Baking and Math 上的博客文章（第 1 部分，第 2 部分）。
对于那些具有广泛数学背景并想更多了解庞加莱同调球面的人，在 Manifold Atlas 上有一篇 Klaus Volkert 的优秀文章Klaus Volkert at the Manifold Atlas，以及（法语）网站Analysis Situs上的一个页面，该网站专注于庞加莱的基础论文。
阅读更多我最喜欢的空间： 康托尔集 胖康托尔集 拓扑学家的正弦曲线 康托尔的漏帐篷 无限耳环 具有两个原点的直线 有两间房子的房子 法诺平面 环面 三环面 莫比乌斯带 长线 空间填充曲线 沃利斯筛 沿狭缝粘合的两个环面 空集 门格海绵 四个霍普夫链环的连通和 博罗梅安环 谢尔宾斯基三角形 单位正方形上的字典序 SNCF 度量 曼德勃罗集 法图煎饼 伪球面 杜阿迪兔
*此句在发布后已更正。