我最喜欢的空间：四个霍普夫链接的连通和

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

它是国际公认的团结、健康竞争、运动能力以及名叫西蒙娜的人们的卓越的象征。但现在进入重要的部分：关于奥林匹克环，有什么数学上有趣的地方吗？

既有又没有。奥林匹克环标志是由五个环组成的链条，每个环都连接到一个或两个相邻环。我们将前往结理论的世界，以弄清楚如何对其进行数学分析。

数学上的结几乎就像你在鞋带或帆船索具上打的结，但松散的末端融合在一起。那么，圆圈就是一个结，但它不是一个非常引人注目的结。它，以及任何你可以通过在不切割或粘合的情况下摆弄它而得到的东西，都称为无结。

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像奥林匹克环这样的物体的技术术语是链环：它是一堆以某种方式相互作用的结。彼此相邻放置、礼貌地不接触的两个圆圈，在技术上是一个链环，但再次不是一个非常引人注目的链环。它们将被称为平凡链环。

最简单的有趣链环是霍普夫链环：两个相互锁扣的圆圈。

奥林匹克环有点像霍普夫链环，但更长。在某种程度上，这使得它们不那么有趣，因为从较小的部分构建它们相对容易。为了使这个想法更精确，我们可以定义一个称为素链环的东西。（素结的定义类似，但我们将只关注链环，因为奥林匹克环形成一个链环。）

素数，那些大于 1 且只能被自身和 1 整除的整数，可以被认为是所有其他整数的构建块，因为你可以将一个整数分解成其素数因子。同样，链环也可以分解为素链环。与其定义素链环，不如定义一个非素链环更容易。我们使用称为连通（有时称为连接）和的运算来做到这一点，该运算描述了我们如何从旧的结和链环构建新的结和链环。为了形成两个链环的连通和，你从每个链环中切出一个线段，然后重新粘合它们，使它们粘合在一起。一个不能由两个或多个非平凡链环构建的链环称为素链环。

为了了解连通和如何工作，我们将看看两个霍普夫链环的连通和如何给我们一个由三个相连的环组成的链条。在步骤 1 中，两个霍普夫链环彼此靠近。

在步骤 2 中，它们打开。

在步骤 3 中，两个打开的环彼此相遇。

现在，中间的两个环（此处以银色显示）是连接的，因此从拓扑学的角度来看，它们已经融合成为一个环。因此，在最后一步中，我们用一个拓扑等价的环替换这两个环。

你可以不断地将霍普夫链环连通相加在一起，以获得链环中你想要的任意数量的环。一个类似的链环，其中有n个环，需要n-1个霍普夫链环的副本才能制成，因此奥林匹克环是四个霍普夫链环的连通和。

人类种族最佳象征竟然不是素链环，这似乎有点令人失望。所以我问了澳大利亚莫纳什大学的数学家杰西卡·珀塞尔，她是否对更好的五环链环有任何建议，以便国际奥委会可以采纳一个数学上更令人满意的符号（如果他们有此意向的话）。她建议了最小扭曲 5 链环，她将其描述为她的最爱之一。这很拗口，但一张图片会有所帮助。

基本上，你将四个霍普夫链环的连通和的两端连接在一起，你就得到了它。你必须稍微小心，以使交叉点完全正确，但这并不难做到。（你可以在本文第 2 页上看到该链环的图示。）

为什么最小扭曲 5 链环如此出色？嗯，首先它是素的，所以它有其自身的优点，不像当前的符号，它是从较小的链环构建起来的。珀塞尔告诉我的另一个原因是结和链环与三维空间（也称为三维流形）的关系。事实上，数学家研究结和链环的原因之一不是为了它们本身，而是因为这些空间，称为结或链环补空间。

结和链环如何与三维流形联系起来（双关语！）？你拿起你的结或链环，用绳子或活页夹环或其他东西制成，并想象将其从三维空间中移除*。结理论家有时称之为从空间中“钻出”。剩余的流形称为结或链环补空间。例如，如果你戴着戒指，你可以将戒指的补空间想象为一些三维空间减去你的戒指。拓扑学家通常关心你可以在一个空间中制作多少个根本不同的环路，他们发现减去戒指的空间比空间本身更有趣。那是因为在更大的空间中，每个环路基本上都与其他每个环路相同。你可以只是滑动和拉伸一个环路到另一个环路，而无需切割或撕裂任何东西。

对于更复杂的结和链环，补空间变得比戒指的补空间更有趣。珀塞尔告诉我，她喜欢最小扭曲 5 链环，部分原因是它的补空间。如果你想从几何上研究它，你可以用 10 个称为正理想双曲四面体的形状来构建它。这意味着，稍微发挥一下诗意，你可以用 10 个里约 2016 年奥运会标志的副本（在拓扑学上等价于四面体的边）来制作它。

珀塞尔向我保证，可以从正理想双曲四面体构建的流形确实非常特殊。完全了解这意味着什么不会在这篇博文中发生，但如果您想更进一步，她有一些关于双曲结理论的讲义。

如果您想知道，最小扭曲 5 链环的补空间比当前奥林匹克环的补空间好得多，后者基于霍普夫链环的补空间。霍普夫链环的补空间具有欧几里得几何，或者当我感觉不尊重数千年的数学传统时，我喜欢称之为催眠欧几里得几何。我宁愿选择双曲几何而不是欧几里得几何！

*如果你特别一丝不苟，你可能会指出我在这里撒了一个小谎。一个无限、无界的三维流形，移除一个小结有点笨拙，所以数学家实际上不是从无限三维空间开始，而是想象将其从称为三维球面，或 S³的东西中移除。它类似于圆圈或球体，但维度高一个维度。

如果这令人困惑，请不要太担心。如果你认为从普通三维空间而不是三维球面中移除它，没有人会向数学警察举报你。数学家这样做是有充分理由的：处理有限或有界空间比处理无限空间容易得多。（就像二维球面或沙滩球表面一样，三维球面具有有限半径。）但是就想象结补空间而言，如果我考虑从普通三维空间而不是三维球面中移除结，我发现它更容易可视化。

感谢戴夫·富特、杰西卡·珀塞尔和迪伦·瑟斯顿向我提供了一些结理论知识。

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