2016年1月31日

我最喜欢的空间：莫比乌斯带

认识一下莫比乌斯带，这个具有最令人心酸的叙事潜力的拓扑空间。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

如果你经常和数学家混在一起，或者参加数学推广活动，你可能见过莫比乌斯带。它在流行数学界占有特殊的地位，因为它易于制作，玩起来有趣，并且蕴含着一些令人惊讶的数学秘密。

你可以在自己舒适的家中制作莫比乌斯带，方法是取一条纸带或意大利面团，在其中扭转半圈，然后用胶带（纸）或挤压（面团）将两端粘在一起。它就像一个圆柱体，但有点偏离。如果你是编织或钩针爱好者，你也许可以制作一个可穿戴的。

我们经常使用莫比乌斯带来解释可定向性的拓扑性质。可定向性是那种你看到时就知道，但又有点难以定义的东西。我不记得我盯着教科书中关于定向的定义看了多少次：“局部定向的连续选择。” 我发现这个解释非常没有帮助。为什么“定向”这个词的定义会包含“定向”这个词呢？

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理解可定向性的更直观的方法，至少对于三维空间中的二维物体而言，是如果一个空间是可定向的，那么你可以在表面上的每个点选择“向内”和“向外”或“向上”和“向下”的方向，并且这些方向是兼容的：你永远不会意外地最终到达同一点，但“向上”却翻转成了“向下”。

也许最直观的理解方式就是玩弄一个球体或圆柱体，以及一个莫比乌斯带。例如，如果你使用一个球体，在北极你可以声明“向外”方向指向正上方。当你绕着球体移动时，“向外”方向仍然指向球体外。相反，尝试在莫比乌斯带上选择“向上”和“向下”。当你沿着带子滑动时，你最终会回到你开始的同一点，但“向上”已经变成了“向下”。尽管你是用正面和背面都正常的纸张制作的，但你已经失去了侧面性。你可以通过直线移动而不是翻转纸张，从纸张的正面到达背面。

莫比乌斯带中蕴含着许多数学上的奇妙之处。一个经典的活动是将它切成两半，看看你会得到什么。如果是三分之一呢？如果你在其中加入一些额外的半扭呢？这是一个更适合在家中或与你的女童子军一起进行的活动，而不是在博客上阅读。

我最近了解到的莫比乌斯带的性质是六色定理。你可能听说过四色定理：任何地图都可以用四种不同的颜色着色，以使任何相邻的国家都不共享颜色。这个定理如所述并不完全正确。我们需要指定地图是在球面或平面上。不同的表面有不同的___色地图定理，对于莫比乌斯带，它是六色地图定理。

为了使这个定理成立，请记住莫比乌斯带，像任何好的数学对象一样，是一个理想化的生物，无法生活在我们混乱的现实世界中。它是二维的，而不是像实际的纸张那样是三维的。正面和背面之间没有任何厚度分隔。为了可视化这一点，你可能想用透明胶片制作你的莫比乌斯带。这样，当你绘制地图时，你就不能在任何一个点将纸张的两面涂成不同的颜色。如果你在一张纸的两面绘制地图，然后用它制作莫比乌斯带，那么将应用来自平面的四色定理。

这里我有一张莫比乌斯带上需要六种颜色的地图的小图片。在你的电脑屏幕上可能很难看到，所以与其相信我的话，不如在家一起玩一下。

莫比乌斯带对艺术家和数学家都很有吸引力。你可以制作或购买莫比乌斯带围巾、吊坠和戒指。你可以演奏莫比乌斯音乐。它的叙事潜力是显而易见的：你围绕着某物旅行，最终回到你开始的地方，但却迷失了方向。向上变成了向下，向内变成了向外。也许莫比乌斯带作为叙事工具最美丽的运用是维·哈特的感人故事《风和乌格先生》，讲述了两个似乎无法亲自见面的朋友。