我最喜欢的一些空间：门格海绵

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

我最近整理了我的办公室，所以一些数学对象和我一起回家了：一个有两个房间的房子，一个折纸反例，一些英国的定宽物体。还有我们上次建造门格海绵时剩下的东西。

感谢Megamenger，这是一项在全球范围内构建巨型分形的世界性努力，门格海绵将永远是我最喜欢的分形之一。你可以通过取一个实心立方体并在一个面的中心钻一个方孔穿透到另一侧来制作门格海绵。现在对其余面再做两次。(担心钻方孔？勒洛三角形会派上用场。) 你现在已经完成了一级门格海绵，剩下的东西看起来像一个去掉了许多立方体的魔方。

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为了继续门格化，您需要像第一次那样在所有剩余的立方体上钻方孔。然后在剩余的立方体上钻方孔，依此类推。像康托集或沃利斯筛一样，我之前写过关于它们的文章，实际制作这个物体的唯一障碍是您必须永远重复构造过程。

在 Megamenger 中，每个小组不是通过钻孔和移除来制作物体，而是从头开始构建它。我们用六张名片制作了 20 个小立方体，将它们组装成一个带孔的立方体，并取 20 个这样的立方体来制作一个更大的立方体。组装细节可在Megamenger 网站上找到。

我现在想写关于门格海绵的原因是因为它是 2.7268(左右)维的。本月早些时候，我写了关于维度的文章。您可以阅读我关于它的帖子，但基本思想是将维度与用于测量或标记事物的坐标数量联系起来。这种维度始终是整数。分形确实具有传统意义上的维度，但它们是如此令人费解的生物，以至于人们不得不提出维度的新定义来充分描述它们。

问题是：门格海绵具有无限的表面积，但体积为零。如果我们用二维来测量它，它太大了，但如果我们用三维来测量它，它又太小了。相比之下，让我们考虑一下二维平面中的 1×1 实心正方形。它的长度是无限的：有无限多个 1 单位线段是这个正方形的一部分。它的面积是 1 平方单位，体积是 0，因为它没有深度。在这个例子中，它在一个维度上具有无限大小，在一个维度上具有零大小，在一个维度上具有可测量的大小。这就像金发姑娘。二维平面非常适合测量实心正方形。

对于门格海绵，二维空间太小，三维空间太大。是否可能存在介于两者之间的某个数字，对于门格海绵来说“恰到好处”？

存在！为了弄清楚如何找到它，我们需要创造性地思考维度。除了坐标数量之外，还有哪些特征定义了维度？一个是缩放。冒着成为显而易见先生的风险，让我们从小处着手。在一维空间中，如果您将物体的长度增加三倍，则该物体会变为原来的三倍长。在二维空间中，如果您将物体在每个方向上的长度增加三倍——例如，将矩形的长和宽都增加三倍——则物体会变为原来的九倍大。等效地，需要九个小正方形才能制作一个边长为三倍的正方形。在三维空间中，如果您将立方体的长度、宽度和高度都增加三倍，它会变为原来的 27 倍大。需要 27 个小立方体才能制作一个边长为三倍的立方体。我们在这里可以看到一个模式。数字 3、9、27 也可以写成 3¹、3²、3³——维度是我们将比例因子提高到以获得新大小的幂。

现在我们可以看到为什么门格海绵不能完全作为二维或三维物体工作。当我们按三倍的比例拉伸门格海绵的每一侧时，我们会得到 20 个门格海绵的副本，因此我们将其尺寸放大了 20 倍。另一种思考方式是，仅需要 20 个立方体来构建一级门格海绵，而需要 20 个一级门格海绵来构建二级门格海绵。但是二级门格海绵的边长是一级的边长的三倍。

因为我们可以将数字提高到非整数幂，所以我们可以使用缩放来理解维度对于像门格海绵这样的物体可能意味着什么，这些物体的缩放方式不像实心立方体这样的整数维度物体那样。维度是我们将比例因子提高到以获得新尺寸的幂。对于门格海绵，其维度d是求解方程 3^d=20 的数字。数字 2.7268 差不多可以做到。(精确答案是 log₃20 或 log(20)/log(3).)

如果一篇关于门格海绵和分形维度的文章没有为您提供一个可以深入研究的兔子洞，那将是一种遗憾，所以这里有：按豪斯多夫维度列出的分形维基百科列表。不用客气！

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