2017年1月31日

我最喜欢的空间：曼德勃罗集

它是数学骄傲的普遍象征。但它*究竟*是什么？

曼德勃罗集，可能是世界上最著名的分形。

Wolfgang Beyer Wikimedia (CC BY-SA 3.0)

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

啊，曼德勃罗集。这个著名的分形是数学家的荣誉象征。我的办公室里挂着一张它的海报，你可以在大型数学会议和面向极客的商店购买印有它的T恤或珠宝。关于曼德勃罗集，有什么可说的呢？

虽然曼德勃罗集对于许多对数学感兴趣的人来说是立刻可以识别的，但我认为他们中的许多人很难描述它实际上是什么。几年前，在我为了我关于分形小猫的文章更多地了解它之前，我当然也是如此。许多人知道它是自相似的，甚至可能看过放大视频，观察那里精美复杂的图案。但它到底是什么呢？

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正如霍莉·克里格在上面的视频中解释的那样，定义曼德勃罗集的一种方法是观察复函数在重复迭代下的行为。（我的一位大学数学教授不喜欢我们一起使用“重复”和“迭代”这两个词，因为这很重复。我接受了这种额外的含义。）在这里，“复函数”不一定非常复杂；它们是在复数上定义的函数，复数的形式为a+bi，其中a和b是普通的实数，i是√-1，通常被诽谤为“虚数”。

所讨论的函数具有f(z)=z²+c的形式，其中c是一个复数。对于每个c，我们通过代入0作为z的初始值来播种函数。然后我们取出我们得到的任何东西，再放回函数中。当我们迭代函数时，可能会发生两种情况之一：要么迭代值通常变得越来越大，越来越远离0，要么它们保持接近，可能在区域内疯狂地跳动，但永远不会远离0。

这些迭代值保持接近于0的c值，在本文顶部的图片中以黑色着色，构成了曼德勃罗集。其他点根据它们的迭代值逃逸到无穷大的速度进行着色。

除了其内在的美丽之外，曼德勃罗集还具有一些数学上令人着迷的性质。其复杂的结构展示了数学家所说的混沌的含义：彼此非常接近的点可能具有截然不同的行为，并且在集合的边缘周围，基本上不可能预测一个点会走向哪条路。它还与其他称为朱利亚集的复杂分形具有令人惊讶和有趣的联系。您可以在这篇Plus Magazine 文章或这个Numberphile 视频中了解更多信息。

数学家仍在试图解决曼德勃罗集的一些谜团。在 1980 年代初期，阿德里安·杜阿迪和约翰·哈伯德证明它是连通的；换句话说，没有任何微小的间隙将集合的任何球状体与其他球状体分隔开。数学家仍然不知道曼德勃罗集是否是局部连通的。这个属性的确切定义有点技术性，但其思想是，如果您放大集合中的任何点，它最终看起来像一个漂亮的连通小斑点吗？（拓扑学家的正弦曲线是另一个连通但不局部连通的空间，尽管当我几年前写到它时，我没有提及该属性。）数学家知道曼德勃罗集在其许多点上是局部连通的，但尚不清楚整个集合是否都是如此。

据我所知，曼德勃罗集本身并没有任何实际应用，尽管一般来说分形肯定有，但它与马蹄蟹非常相似，而这种雄伟的生物具有神奇的婴儿蓝血，具有拯救生命的医疗应用。