2016年2月12日

我最喜欢的几个空间：长线

“我对你的爱就像长线一样——在大多数方面都类似于真正的爱，只是更长。” 认识一下拓扑空间中俗气的 Valentine's Day 卡片。

作者：Evelyn Lamb

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

我必须承认，我曾经对长线感到一种模糊的敌意。但在看到 Mike Lawler 的这条推文后，我决定再给它一次机会

我对你的爱就像长线一样——在大多数方面都类似于真正的爱，只是更长。#inspirationaltopology

— Mike Lawler (@mikeandallie) 2015年9月2日

换句话说，长线是拓扑空间中俗气的 Valentine's Day 卡片，如果有什么我可以支持的，那就是在数学中寻找爱，最好是以最俗气的方式。

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顾名思义，长线真的是一条很长的线，在某种程度上比普通的数轴“更长”。我们可以将普通的数轴视为一堆首尾相连的单位长度区间。具体来说，每个整数都有一个区间。长线也是一样，只不过每个实数都有一个区间。

至少如果那是真的就好了。但事实更奇怪，它会带我们踏上一些集合论和无限复杂性的旅程，许多人声称这些复杂性让 Georg Cantor 发疯。警告过了。

为了定义长线，我们需要谈谈不同大小的无限。当数学家谈论大小或基数时，他们使用双射的概念：如果可以将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的恰好一个元素配对，反之亦然，则两个集合的大小相同。换句话说，我们不用数手指，而是将我们的两个拇指、两个食指等对齐，以得出结论，我们的双手都有相同数量的手指。

当我们谈到无限集时，会发生奇怪的事情。整数的数量与偶整数的数量相同，即使（呵呵）偶整数是整数的子集。我们可以将所有整数排列在左侧，将偶整数排列在右侧，并将它们配对，以便左侧的数字n与右侧的2n配对。我们找到了一个双射，所以这两个集合的大小相同。另一方面，对于有限集，您无法在集合及其子集之间找到双射。

所有实数的集合可以证明比整数集合更大，所以我们知道至少有两种不同大小的无限。事实上，有一种从较小的无限获得更大的无限的方法，所以我们可以仅从整数的无限（称为可数无限）开始生成无限的无限。

这与长线有什么关系？长线实际上并没有定义为每个实数的一个单位长度区间的串联。相反，我们找到最小的不可数无限，并将那么多区间串在一起。

在这一点上，我们直接遇到了连续统假设。连续统假设指出，实数的无限是最小的不可数无限。因此，如果实数的基数是最小的不可数无限，那么我对长线的最初描述就足够准确了。如果不是，则在整数和实数之间存在一些无限，并且长线是使用该无限而不是实数无限制成的。（有关连续统假设和长线的更多信息，请查看 Richard Koch 的这篇 pdf。）

那么连续统假设是真的吗？好消息：你可以选择任何一种！ 1963年，Paul Cohen 证明连续统假设不违反构成数学基础的 Zermelo-Fraenkel 公理。连续统假设的否定也不违反这些公理。换句话说，连续统假设独立于数学基础。您无法使用数学的其他公理来证明它或其否定。有些人认为这意味着我们尚未找到正确的基础，但我倾向于同情那些认为这意味着我们有权在不同的有效系统之间进行选择的人。

无论我们是否决定接受连续统假设，我们都有很多长线需要处理。它有什么用？像我的许多其他喜欢的空间一样，它是一个反例，一个被虚构出来的空间，旨在准确地展示您可以在哪里破坏您最喜欢的数学工具。在这种情况下，长线向我们展示了拥有太多好东西的危险。基本上，长线太大了，无法进行微积分运算。

由于一些非常技术性的原因，尤其是在您刚刚绞尽脑汁思考最小的不可数无限之后，在满足以下三个条件的空间上进行微积分运算更容易：它们在局部“看起来”像某种维度的欧几里得空间；它们是 Hausdorff，这意味着您可以区分其中的点；并且它们是第二可数的，这意味着您可以从少量（即可数）的集合构建空间。长线违反了最后一个要求。即使您可能认为它基本上与实线相同，但仅仅因为它太长，它就具有根本的区别。

当您想到长线时，“我该如何爱你？让我细数……”听起来并没有那么令人印象深刻。 “我该如何爱你？我无法细数，因为就像构建长线的集合一样，它们是真正不可数的”是一种更浪漫，但不太诗意的表达爱意的方式。