2015年8月31日

我最喜欢的一些空间：具有两个原点的直线

这条被证明无法绘制的具有两个原点的直线，阐释了一个简单但重要的拓扑性质

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

你即将搬家，需要租一套未看过的公寓。你在网上搜索，打了一些电话，最终确定了一套看起来完美的公寓。然而，当你到达你的新家时，总感觉有些…不对劲。事实上，一切都不对劲。它没有电。你回头看广告，果然，它没有明确说明公寓有电，但你没想到需要问。

对于许多数学家来说，豪斯多夫性质就像公寓里有电一样。当然，你可以构建一个没有它的空间，但你总是会想当然地认为它应该存在。在没有豪斯多夫性质的情况下进行拓扑学研究，感觉就像在黑暗中摸索。

豪斯多夫性质，以德国数学家费利克斯·豪斯多夫的名字命名，是数学空间中与分离相关的众多条件之一：空间中的点彼此之间可以分离到什么程度？如果对于空间中任意两个不同的点，你可以将它们放入不相交的开集中，则该空间是豪斯多夫空间。开集是拓扑空间中的基本单位，你可以在我的最新文章中阅读有关它们为什么重要的内容。

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要了解豪斯多夫性质的重要性，请思考它对于一些熟悉的空间意味着什么，例如，实数线。实数线中的开集只是像 (0,1) 这样的开区间。实数线上的任意两点，无论它们多么接近，都由一定的距离分隔开，因此通过找到足够小的开区间，你可以将这些点放入两个不重叠的区间中。

其他熟悉的空间，如欧几里得平面或三维空间，也具有这种性质。很难想象一个不具有这种性质的空间。这就是具有两个原点的直线出现的原因。它是最简单的非豪斯多夫空间之一。

为了构造具有两个原点的直线，我们从两条数轴开始。我们可以通过命名这两条线来标记点，并将第一条线上的点 x 称为 (x,0)，第二条线上的点 x 称为 (x,1)。现在我们声明，除非 x=0，否则点 (x,0) 和 (x,1) 是同一点。我们还决定，该空间继承了我们开始使用的两条实数线的标准拓扑，因此该空间中的开集只是开区间。

你可能会反对我们仅仅决定这两个点是相同的，但进行拓扑学研究通常意味着你可以制定规则。我们一直与欧亚国交战，并且 (1,0) 与 (1,1) 相同。

具有两个原点的直线的另一个图示。在这个图中，我们必须假装红点和黄点一起坐在蓝线上。

你能明白为什么具有两个原点的直线不是豪斯多夫空间吗？毫不奇怪，正是定义中“除非 x=0”的部分导致了这种情况。任何包含 (0,0)（第一条数轴上的原点）的开区间，都将与任何包含 (0,1)（第二条数轴上的原点）的开区间重叠，因为第一条数轴上的几乎所有点都与第二条数轴上的点相同。

虽然我在这篇文章中包含了一些插图，但很难绘制具有两个原点的直线的图像。事实上，数学上可以证明绘制具有两个原点的直线是不可能的，这也是豪斯多夫性质重要的原因之一。豪斯多夫性质不保证数学空间易于绘制（参见康托的漏帐篷），但它确实保证了该空间可以以良好行为的方式嵌入到某个欧几里得空间中，也许是高维空间中。。具有两个原点的直线无法以真正展示其本质的方式嵌入到任何欧几里得空间中。相反，我们必须在纸上或电脑屏幕上抛出一些线条和点，并希望我们的观众能理解我们的意思。