2015年7月31日

我最喜欢的空间之几：无限耳环

拓扑学是关于挤压和拉伸的；距离应该无关紧要。但是无限耳环展示了拓扑学和几何学之间微妙的相互作用。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。

拓扑学有时被描述为戴着啤酒眼镜的几何学，或者不戴眼镜的几何学。几何学是研究形状的学科：它们在空间中的位置，它们彼此之间以及与自身之间的相互作用方式。进行几何学研究通常需要以某种方式测量距离。另一方面，在拓扑学中，你可以随意拉伸或挤压物体，因此空间中任意两点之间的确切距离并不重要。但有时几何体会出现在你意想不到的地方。物体的几何形状会影响其拓扑结构。

无限耳环，有时也称为夏威夷耳环，是我在拓扑学中最喜欢的例子之一，因为它说明了几何学和拓扑学之间一些微妙的相互作用。

为了构建无限耳环，你从二维欧几里得平面开始，并添加一个圆，其圆心在点 (1,0)，半径为 1。现在添加半径为 1/2，圆心为 (1/2,0) 的圆。现在添加半径为 1/3，圆心为 (1/3,0) 的圆。这个模式持续下去：无限耳环由所有半径为 1/n，圆心为 (1/n,0) 的圆组成，其中 n 为所有正整数。

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最终，它是一堆嵌套的圆，它们都恰好在一个点 (0,0) 相交。但它不止于此。通过思考无限耳环不是什么来思考它，这是很有启发意义的。例如，它与无限个圆的集合不同，这些圆都相交于一点（我们称之为可数无限个圆的楔形或花束）。这个事实可能会让人感到惊讶，因为毕竟，我们可以通过将圆缩小不同的量并将它们推入平面，将圆的楔形变成无限耳环，或者我们可以通过放大无限耳环的小圆来反过来操作。即使这些变换相当温和，这两个空间在拓扑上也不是完全等价的。

圆本身就是一个拓扑空间，当我们谈论无限个圆的集合时，我们并不要求它们位于任何特定的环境空间中。无限耳环位于平面中的事实会影响其拓扑结构。我们无法将可数无限个相同大小的圆的楔形放入平面中，因为圆会开始以我们不希望的方式重叠。

证明两个空间在拓扑上是相同的很困难，但只需要一个差异就可以证明它们是不同的。证明无限耳环与可数无限个圆的花束不同的最容易的方法是放大点并看看你会得到什么。如果这两个空间是等价的，那么当你放大对应的点时，你会看到在拓扑上等价的东西。任一空间中最特殊的点是所有圆汇聚在一起的楔形点。如果我们只看那个点周围的一个小区域，我们就会发现我们的差异。

在圆的花束中，楔形点的一个小邻域仅仅由每个圆上一个点的小邻域组成。这就像一把意大利面。（很多意大利面。）

无限耳环中点 (0,0) 周围的一个小区域是欧几里得平面中的一个小圆。它具有一定的有限半径，并且该半径大于耳环中某些圆的半径。事实上，它大于无限多个圆的半径。因此，该圆包含来自耳环的无限多个圆。用意大利面来比喻，就像有限数量的意大利面条中混入了无限多个（非常小的）意大利面圈。

无限耳环和圆的花束之间的差异以其他复杂而令人愉快的方式显现出来，但我认为我稍后再讨论这些。现在，我想考虑另一个与无限耳环不同的空间，这次是一个也位于平面中的空间。

如果我们向外而不是向内构建圆，使它们的半径为整数 1、2、3 等等（也许我们应该称之为更无限耳环？），我们会得到另一个与无限耳环根本不同的空间。有几个拓扑性质可以区分这两个空间。最容易看到的是，无限耳环是有界的——它都适合平面中的一个盒子——而更无限耳环不是。

两个无限耳环之间的另一个区别是，一个空间是闭集，而另一个不是。在平面中成为闭集有几个等价的定义。其中之一是，任何非常接近集合中点的点本身也在该集合中。更无限耳环不包含 y 轴上除 (0,0) 之外的任何点，但是随着耳环中的圆越来越大，它们看起来越来越像一条直线，因此它们越来越接近 y 轴。当我们取整个无限空间时，y 轴上的所有点都非常接近更无限耳环中的点，但它们永远不会完全接触到它们。

另一方面，不太无限的耳环没有这个问题。半径为 1 的圆是其中最大的一个，因此该圆限制了 y 轴可以接近这些圆的程度。

我花了一段时间才接受这个事实，即无限耳环真的与圆的花束和更无限耳环如此不同，一个空间的几何形状真的会对拓扑结构产生如此大的影响。我想我不是唯一一个拓扑学学生，感觉自己只是在听信别人的话，而不是完全理解它。但在那种时候，我用约翰·冯·诺伊曼的一句话安慰自己：“在数学中，你并不理解事物。你只是习惯它们。”