2016年6月30日

我最喜欢的空间：空集

虚无的导览

有什么比空游泳池更空虚的吗？

Cjp24，通过维基共享资源。 CC BY-SA 3.0

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

安德鲁·海克在丽贝卡·米德最近发表的《纽约客》文章中说：“数学是关于虚无的。” 如果他还没有，那么通过这句话，他肯定已经江郎才尽了。他随后更令人困惑地说：“数学描述了世界的大部分，但完全是关于它自身的。” 那么数学是关于虚无的，除了它所关于的东西，也就是数学和世界上的某些事物？我赞同数学老师帕特里克·霍纳的观点，他问道：“我们为什么要听安德鲁·海克的话？”

海克的断言是荒谬的，但今天让我们迁就他一下。认识一下空集。

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好吧，空集并不是最上镜的集合。它是一个内部没有任何东西的集合，而且很难拍到虚无的好照片。该集合最流行的两种表示形式是空括号 {} 和看起来像斯堪的纳维亚元音 ø 的东西。（字母的维基百科页面警告我们不要将该字母与数学符号混淆，但它没有具体说明如果我们犯了这个错误会面临什么可怕的后果。）我将使用符号 ∅，因为我认为它看起来更好看，而且当你在写作关于虚无的东西时，它最好是衣着得体的虚无。

迈克尔·哈里斯在他最近的博客“Mathematics Without Apologies”上说，∅ 几乎不是任何人的最喜欢的集合，但我认为有一些理由去喜爱它。

无限

喜爱空集的第一个理由是，空集远非限制你的可能性，而是通过空泛真理的魔力来开启它们。如果你从一个错误的 premise 开始推理，那么任何事情都是真的。当我们说“当猪会飞时，我才会参加背诵圆周率数字的比赛”或者“如果那是一个明智的铁路票价方案，那么我就是英国女王”时，我们秘密地在修辞上使用这个想法。

空集是空泛真理的原型生成器。任何你想证明的关于空集中事物的事情，你都可以证明。从逻辑上讲，这等同于说“如果 x 在空集中，那么 x 具有[你正在思考的任何令人愉快的属性]”。你想要独角兽吗？太棒了！空集中的一切都是独角兽。你讨厌独角兽吗？你很幸运——空集中的一切都是对抗独角兽的护身符。空集本身不是对抗独角兽的护身符，但其中每一件事物都是。

空集在数学中无处不在，我是字面意思。它是每个其他集合的子集。在这里，我们必须小心我们所说的子集是什么意思。如果集合 X 的每个元素都是集合 Y 的元素，则集合 X 是集合 Y 的子集。当 X 是空集时，无论 Y 是什么，这都是正确的！由于空泛真理的力量，空集的每个元素都是偶数，并且空集的每个元素都是奇数。因此，空集既是偶数的子集，也是奇数的子集。

空虚

我认为空集是每个集合的子集这一事实使得数学上的空虚与我们在日常生活中思考空虚的方式根本不同。当你向空玻璃杯中倒水时，感觉就像你已经从玻璃杯中移走了空虚。但是你不能把空虚从数学集合中拿走。

我与詹姆斯·麦迪逊大学的数学家劳拉·塔尔曼就空集进行了一次有趣的对话。她专注于普通空虚和空集之间的区别。我们如何在生活中体验空集？空餐不仅仅是一天中你不吃饭的时间。你会坐在餐具面前，没有人会给你送食物，然后你会站起来离开。4'33"，约翰·凯奇的著名空作品，不仅仅是任何 273 秒的安静。表演者坐在观众面前的钢琴旁。包装很重要。

那个包装有助于解释关于数学空虚的一个奇怪但至关重要的事实：空集不同于包含空集的集合。有时人们将其与塑料袋或空玻璃杯进行比较。空集是一个空玻璃杯，而包含空集的集合是一叠两个玻璃杯。你可以继续下去：将玻璃杯放入桶中，你就得到了一个集合（桶）包含包含空集的集合（玻璃杯）。在旁边再放一个玻璃杯进去，你就得到了一个集合，其中包含（空集和包含空集的集合）。这里语言开始变得有点含糊，所以我用额外的标点符号进行补充。当然，与物理物体的类比并不完美。一个装有三个玻璃杯的桶是有一定重量的，而数学集合没有沉重的容器。

无中生有

关于空集最迷人的事情可能是你可以用它来无中生有。在我们这样做之前，我们可能想简要回顾一下集合论。现代数学的大部分都建立在集合论之上。集合基本上是数学家可以谈论的最一般的物体的集合。如果你有一堆东西并称它们为群，这意味着这些东西必须满足一些关于它们彼此之间关系的规则。另一方面，集合可以是任何物体的集合，不需要任何关系。集合 {绿色物体，一只名叫米莉森特的水豚，6，诚实} 与整数集合一样有效。当然，当我们真正开始做数学时，我们很快就会发现我的相当折衷的集合没有什么有趣的事情可做，而整数为几代数学家提供了需要思考的问题。

在集合论中，数学家们已经确定策梅洛-弗兰克尔集合论是数学建立的基石。我们大多数人从不在那个基础层面工作，但在原则上，我们可以从我们最新的定理一直向下挖掘到ZF 公理。这些公理有几种不同的表述，它们在某种意义上是等价的，即你可以从另一种表述的公理中得到一种表述的公理。在所有这些表述中，空集都是必要的。事实上，它是我们保证拥有的唯一集合。当你的唯一工具是锤子时，每个问题看起来都像钉子，而空集就是我们的锤子。

为了从空集构建整数，我们从小处开始。我们让空集为 0，或 ∅ =0。然后包含空集的集合为 1。我们可以将其写为 {0} 或 {∅}。然后 2 是 {0,1}，或 {∅,{∅}}；3 是 {0,1,2}，或 {∅,{∅},{∅,{∅}}}。请注意，在每个阶段，元素的数量与我们定义的数字相同。对于 3 来说，这有点难以分辨，但请注意，最后一个逗号在一个集合元素内。作为一个集合，数字 3 包含 3 个事物：空集；包含空集的集合；以及包含空集和包含空集的集合的集合。

当我们达到 4 时，事情变得非常复杂。4={0,1,2,3} 或 {∅;{∅};{∅,{∅}};{∅,{∅},{∅,{∅}}}}。用语言来说，它就像水牛城的水牛恐吓水牛城的水牛：它是包含以下内容的集合：空集；包含空集的集合；包含空集和包含空集的集合的集合；以及包含空集、包含空集的集合以及包含包含空集和包含空集的集合的集合。这里有一个地方，使用符号而不是语言可以将完全令人费解的东西变成几乎可以抓住的东西。这种构造不是在集合论中构造数字的唯一方法，但它可能是最著名的一种。

视角

看起来我们已经从空集构建了整数，我们可以从中推导出其余的现代数学。海克是对的吗？数学是关于虚无的吗？真相是：数学不是从集合论发展而来的。大多数数学家甚至从不考虑从集合构建数字，或者一般的集合论的大部分细节。集合论的历史仅有百余年，但人们已经进行了数千年的数学研究。数学不是公理化发展的。它是在世界各地零星发展起来的——尽管通常具有惊人的相似之处——因为人们有他们需要解决的问题，或者注意到他们想要描述和分析的模式。

我们是好奇和喜欢实验的生物，数学的意义逐渐转变为我们今天使用的更加严格的公理化系统，但我们仍然在使用它来描述世界和解决问题。一些看起来最深奥的想法——八维空间中的球体堆积，比如说——与极其实际的问题有关——为蜂窝网络或光纤电缆中的数据找到最佳的纠错码，以便你、我或安德鲁·海克即使在充满失真和噪声的世界中也能彼此交流。

如果那是关于虚无的，那么某物的门槛就太高了。