2015年3月26日

我最喜欢的空间：康托集

康托集非常庞大，但其中并没有太多东西。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

上个月，我写了关于 π-Base 的文章，这是一个功能类似于 拓扑学反例 这本书的网站。这个学期我正在教拓扑学课程，并且重温一些好的反例很有趣。作为博客上的一个新系列，我将写一些这些奇怪而有趣的数学空间。我们将从康托集开始，这是一个有用的空间，在数学中反复出现。

关于康托集，主要有两种思考方式。第一种更有趣，所以我们从那里开始。取一条线段。不妨取从 0 到 1 的线段，包括它的两个端点。现在移除线段的中间三分之一，但不包括端点 1/3 和 2/3。我们剩下线段 [0,1/3] 和 [2/3,1]。现在移除这两个线段的中间三分之一，这样我们就剩下 [0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9] 和 [8/9,1]。如果你永远移除中间三分之一，你就会得到康托集。

最终得到康托集的过程的七次迭代。图片来源：公有领域，来自维基共享资源。

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当您不断移除所有这些东西时，剩下任何东西可能有点令人惊讶，但如果您稍微思考一下，您会同意数字 0、1/3、2/3、1 以及任何中间区间的其他端点永远不会被移除。我们特意选择不移除它们。更令人惊讶的是，不仅仅是那些端点。还有更多。端点只有可数个（读作：微不足道的无穷大），但康托集中有不可数个（读作：相当可观的无穷大）点。为了理解为什么，看看思考康托集的另一种方式会更容易。

康托集的第二种描述有点枯燥，但可能更精确。我们通常使用十进制来书写数字，但对于这种构造，我们应该使用三进制来书写。这意味着我们只需要数字 0、1 和 2。（三在三进制中写成 10。数字一到十写成 1、2、10、11、12、20、21、22、100、101。）康托集是所有介于 0 和 1 之间且可以用三进制写成，并且只使用数字 0 和 2 的数字的集合。例如，0 当然在康托集中，1 也在其中，它可以写成 0.2222222…。 (就像 0.99999…=1 一样。)

关于康托集的三进制思考方式与中间三分之一构造非常自然地对应。三进制描述就像一次性移除所有中间三分之一。当您移除区间 (1/3,2/3) 时，您正在移除小数点（三进制小数点？）后第一位为 1 的数字。当您移除剩余线段的中间三分之一时，您正在移除第二位为 1 的数字，依此类推。我们确实需要小心端点。早些时候，我们注意到数字 1 可以写成 1 或 0.222222…。同样，数字 1/3 可以写成 0.1 或 0.0222222…。任何三进制表示以 1 结尾的数字都可以重写为以无限个 2 结尾。康托集是可以用三进制写成，并且只使用 0 和 2 的所有数字的集合，而不是必须以这种方式书写的所有数字的集合，因此我们将允许 1 和 1/3 以及其他此类数字成为集合的一部分。

康托集不仅仅是一个很酷的纹身图案。它有许多在早期拓扑学和分析课程中出现的性质，如果您想测试新的定义，它是一个很好的例子。它具有“大”和“小”属性的有趣组合。我之前提到过它是不可数的。去年夏天我写了一些关于不可数性的文章。可数无限集对应于可以列出的集合——即使我们无法写下所有整数，我们也可以想出一种列出它们的方法，并知道哪个会出现在列表中的哪个位置，所以整数是可数的。令人惊讶的是，一些看起来甚至“更大”的集合也是可数的。最让我惊讶的是所有有理数的集合。 “应该”有比整数多得多的有理数，但在精确的意义上，它们的数量完全相同！

另一方面，所有实数的集合是不可数的。这意味着我们尝试列出它们的任何方式都注定要失败。康托的对角论证确立了这个事实，可能是我在数学中最喜欢的证明。同样的推理可以用来证明康托集是不可数的——事实上，它与所有实数的集合大小相同。

这就是康托集开始变得像反例的地方。它是不可数的，但它也没有任何“东西”在里面。它的长度为零。理解这一点的一种方法是注意到你在每一步都移除剩余长度的 1/3。在第一步中，你移除一个长度为 1/3 的区间。在第二步中，你移除你剩下的 2/3 区间的 1/3，总共 2/9，依此类推。你移除的总长度是 1/3+(1/3)(2/3)+(1/3)(4/9)+(1/3)(8/27)…。以前的微积分 2 学生可能会回忆起几何级数之和，并注意到这个级数之和为 1。因此，从长度为 1 的区间中，我们移除了 1 个单位的长度，但我们剩下的数字却和整个实数轴一样多！

如果您想了解更多关于康托集的信息，π-Base 列出了一些它的拓扑性质：它是紧致的、完全分离的且拓扑完备的，但不是分散的。 Cut-the-knot math 也有一个很好的康托集页面，罗伯特·瓦林（上面照片中康托集纹身的所有者）写了一整本关于这个主题的书。祝您玩得愉快！