2016年3月31日

我最喜欢的一些空间：空间填充曲线

空间填充曲线，维度之间令人费解的映射，具有令人惊讶的实际应用。

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

如果你听过这个，就阻止我。想看空间填充曲线的图片吗？给你！

这真是个笑话！空间填充曲线基本上就是它听起来的样子：一条线被弯弯曲曲地弯曲，直到它填充一个二维区域，在本例中是一个正方形。（也有三维空间填充曲线，以及四维等等。一条线可以填充你给它的任何空间！）

关于支持科学新闻

如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保未来能够讲述关于塑造我们今天世界的发现和想法的具有影响力的故事。

空间填充曲线在其完整形式中不是很具有启发性。你能从一个纯黑色的正方形中学到什么？相反，像其他分形一样，我们通常将空间填充曲线想象成有限构造的无限版本。

有几种方法可以使用迭代过程制作空间填充曲线。这是一个动画形式。

在每个阶段，每个线段都被一个由四个线段组成的图形替换。中间曲线都不是空间填充的，但如果我们想象这个过程永远继续下去，那么无限版本就是我们的空间填充曲线。

空间填充曲线挑战了我对维度的直觉。空间填充曲线是一条线的图像，一条根本上是一维的物体，它填充了一个平面，一个根本上是二维的物体。感觉一个表现良好的函数不应该能够将一维的东西变成二维的东西。让我感到安慰的是，它只在无穷远处起作用，但这仍然有点令人不安。

（如果你在上拓扑课，你应该非常紧张。直线和平面在拓扑上是不等价的，但空间填充曲线是一个将直线映射到平面的连续函数。它有什么问题？我们打破了所有的数学吗？！）

很难想象像无限扭结的线这样抽象的东西可能与现实世界有任何关联，但空间填充曲线将一维的东西变成二维或更高维的东西这一事实在数据处理中具有实际应用。在这段精彩的视频中，格兰特·桑德森解释了希尔伯特曲线（空间填充曲线的一个例子）如何帮助我们找到将图像的二维视觉数据转换为一维声音数据的最佳方法。

如果你想在家一起玩，有很多方法可以制作自己的空间填充曲线。如果你想耍花招，只需开始给一些正方形着色即可。如果你对制作曲线的无限迭代过程更感兴趣，Vi Hart 是你绘制龙曲线的指南，而Andrea Hawksley，受 Kyle Calderhead 的启发，将帮助你钩织自己的希尔伯特曲线阿富汗毯。

至于我，我在宇宙的模式中找到了我的空间填充曲线禅，这是一本由Alex Bellos和Edmund Harriss创作的数学主题着色书。他们的书中包含两页空间填充曲线。其中一页是这篇文章的特色图片，另一页是下面的连点成线。

本周的前半部分，我都在对人们大吼大叫，因为他们对糟糕的数学教育论点，而给流蛇着色是完美的舒缓剂。