我最喜欢的空间:SO(3)

在不断扩大的漩涡中旋转和旋转...

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本文发表于《大众科学》的前博客网络,反映了作者的观点,不一定反映《大众科学》的观点


上周,当 Toby Hendy 在 Twitter 上关注我时,我感到 很兴奋。她是一位物理学博士生,拥有一个 YouTube 频道,主要内容是物理学,偶尔也会穿插一些美发视频。我从她关于狄拉克带技巧的视频中认出了她,她在视频中用她非常长的辫子进行了演示。

我写过关于这个技巧的文章,我现在把它看作是 女服务员馅饼技巧,在 2016 年观看托尼奖颁奖典礼后。上周与 Hendy 在网上交谈时,我意识到我一直想写更多关于 SO(3) 的内容,这个空间潜藏在头发和馅饼背后。


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一个旋转的球体。 来源:Maksim Wikimedia(CC BY-SA 3.0)

SO(3) 是特殊正交群*在三维空间中的缩写,它也被称为三维旋转群。它是三维空间旋转的集合,这些旋转保持一个特殊的点,称为原点。最容易想象的情况是,所有你可以旋转一个球——无论是篮球还是地球本身——的方式,都保持球的中心固定。 

除了作为一个集合,SO(3) 还是一个,这是一个数学术语,表示该集合具有更多的结构。群需要一个集合以及一种组合集合元素以获得集合中其他元素的方法。很容易让你相信,执行一次固定球中心点的旋转,然后再执行第二次旋转,将产生另一次旋转。群还需要一个单位旋转(什么都不做),并且每个旋转都必须有一个撤销它的逆旋转。

到目前为止,我们将 SO(3) 定义为旋转群。除了可能一些不熟悉的术语外,它非常简单明了。现在我们进入元层面。

我们想要理解的不是我们正在旋转的球体的结构,而是旋转空间本身的结构。我们需要多少维度的信息来描述所有的旋转?我们能否找到一种方法来可视化,不仅是单个旋转,而是整个旋转空间?

首先,让我们考虑一下我们如何描述旋转。一种方法是注意到,球体的每一次旋转(固定中心)都是围绕穿过中心的直线进行的。如果你正在考虑地球仪,那很可能是连接北极和南极的线。在 SO(3) 中,我们允许绕任何这样的轴旋转,并且我们可以旋转任意角度。因此,指定旋转的一种方法是指定一个轴(或等效地,球体上的两个相对或对跖点)和一个旋转量。可视化这个想法的一种方法是想象一个实心球。为了方便起见,我们说它的半径为 1/2。(当数学家选择一个非 0 或 1 的数字来“方便”时,你就知道她有诀窍了!)球体中除了中心之外的每个点都沿着某个轴距离中心一定的距离。为了完全理解旋转和实心球中的点之间的对应关系,我们必须深入了解一些更详细的信息。

自己玩弄这些想法,弄清楚为什么会选择每种约定是很有趣的,但现在,你必须相信我的话。让我们想象一下球体中除球体中心之外的点。它沿着穿过中心的某个轴,距离d,介于 0 和 1/2 之间。想象一下,将你的视线与这个旋转轴对齐,调整球体的方向,使你的眼睛比中心更靠近你选择的点。然后旋转指定的转数部分,由距离d指定。因此,如果d=1/4,则旋转四分之一圈。可能需要稍微思考一下,但事实证明,所有旋转都可以使用距离和轴来描述,因此我们在球体中的点和球体的旋转之间建立了对应关系。

尝试想象在实心球中漫步,并观察球体的旋转结果是很有趣的。例如,如果你沿着从球体中心发出的射线行走,你就是在固定一个轴,并围绕该轴进一步旋转。当你到达球体边缘时会发生什么?在那个点上,你已经在一个方向上旋转了半圈,即 180 度。当你进一步旋转时,它等同于在另一个方向上旋转小于 180 度,这对应于同一射线上的一个点,但在中心的另一侧,或者将你的眼睛与相同的轴对齐,但使相对侧更靠近。

这意味着为了描述旋转是如何相互关联的,我们希望能够沿着一条射线走到球体的边缘,然后跳到射线的另一侧,并继续朝相同的方向行走。所以基本上我们想要一个对跖点粘合在一起的实心球。《我最喜欢的空间》的常客可能会觉得这有点熟悉。将圆形物体的对跖点粘合在一起正是我们获得实射影平面时所做的事情!事实上,SO(3) 在拓扑上与实射影 3-空间或 RP3 相同。

在研究这篇文章时,我偶然发现了一篇新的论文David Pengelley 和 Daniel Ramras 关于 SO(3) 与带或馅饼技巧之间关系的视频系列。 这篇论文假设了一些数学背景,但这些视频不需要那么多,它们都有助于思考当你的头发或手臂旋转和旋转,并最终回到起点时,它们到底在做什么。

*奇怪的是,理解空间名称中的词语对于理解这篇文章来说并不是真正必要的,但是如果你不至少对名称进行简要解释就离开这篇文章,这似乎很奇怪。SO(3),三维特殊正交群,是矩阵的集合。在数学中,矩阵是数字的矩形阵列,这似乎极其低估了它的用途。我们在这里关注矩阵的原因是,它们提供了一种表示称为线性函数的变换的简单方法。

在 SO(3) 的情况下,我们感兴趣的矩阵是方阵,因此它们具有相同数量的行和列(每个 3 个)。正交一词意味着矩阵的列必须彼此正交(垂直,但更花哨),特殊一词意味着矩阵必须具有行列式 1;基本上,它们表示的变换不能使事物变大或变小。

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