本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
法图煎饼并非一个广为人知的术语，除非在我自己的脑海中。然而，为了纪念我称为法图日的吉祥数学节日，我想庆祝这个集合，即函数 f(z)=(z+z2)/2 的填充朱利亚集。它形状有点像煎饼，以纪念今天的另一个节日，忏悔星期二，并且在 1906 年由皮埃尔·法图本人研究过。（您可以在法国国家图书馆网站上阅读他关于它的文章。它是法语的，并且他使用的数学语言可能有点过时。）
我已经将我昵称为法图煎饼的集合描述为有界的法图域和填充朱利亚集。这些是什么意思？有几种定义集合的方法。最直观的方法是，您观察复平面中的点在您将它们代入给定函数（因此朱利亚集是特定函数的朱利亚集）时会发生什么，然后再次将输出代入函数并不断重复。一个点可以保持有界或跑到无穷远。如果它保持有界，那么它就在填充朱利亚集中，如果它跑到无穷远，那么它就不在。朱利亚集是填充朱利亚集的边界。
法图域不如填充朱利亚集那么直观。但今天是法图日，见鬼，所以我们要深入了解它们！法图域是一个在函数 f(z) 下不变的开集。这意味着域中的每个点都被带到域中的另一个点。此外，一个法图域中的点表现相似。（“表现相似”的确切含义变得有点技术性。点可能表现相似的一种方式是它们可能都被吸引到同一点。）总而言之，法图域形成法图集，而朱利亚集是剩下的所有内容。在我上周关于法图日的帖子中，我提到您可以将法图集视为所有成团做类似事情的东西，而将朱利亚集视为行为混乱的点集。如果您在朱利亚集中，您不知道您附近的点会射向无穷远还是礼貌地保持在附近。
关于支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保未来能够继续讲述关于塑造我们当今世界的发现和想法的有影响力的故事。
一个例子胜过千言万语，所以让我们研究一下非常良性的函数 f(z)=z2 的朱利亚集和法图集。在这里，我使用变量 z 来提醒大家，我们生活在复平面中。如果您不熟悉复平面中的乘法，您可能需要观看格兰特·桑德森（也称为3 Blue 1 Brown）的这个精彩视频。
对于这篇文章，需要理解的重要事项是，复数可以被认为是平面中的向量，既有大小（距 0 的距离）又有方向（角度是从 x 轴逆时针测量的），并且复数乘法不仅仅像实数乘法那样是拉伸。（我们可以将实数乘法视为“拉伸”或“挤压”数轴。）复数乘法既有拉伸成分又有旋转成分。要将两个复数相乘，我们将它们的角度相加，并将它们的大小相乘。
因此，当我们对一个复数求平方时，我们将其角度加倍并平方其大小。如果它非常接近于零，大小小于 1，它将在旋转的同时向零收缩。如果它远离零，大小大于 1，当我们对其求平方时，它将离零更远。如果它的大小为 1，则角度将加倍，因此它将逆时针旋转一定量，并且大小将保持不变。
法图集和朱利亚集基于点在函数重复迭代下的长期行为。因此，在 f(z)=z2 的情况下，我们不仅仅平方数字一次；我们取一个输入，平方它，平方平方，依此类推。为了查看具体的数字，我们可以从数字i，即 -1 的平方根开始。它的大小为 1，角度为 90 度，或者如果您想变得花哨和使用弧度，则为 π/2。它的轨迹将是 i、-1、1，然后它将永远停留在那里。另一方面，数字 2 只会沿着 x 轴跑到无穷远：2、4、8、16 等等。而像 1/4+i/4 这样的小数字会螺旋式地向 0 收缩：1/4+1/4i、i/8、-1/64、1/4096 等等。一般来说，复平面中的所有点都可以分为三组：螺旋式向 0 收缩的点、爆炸式向无穷远延伸的点以及停留在半径为 1 的圆上的点。后一组点构成朱利亚集。其他两组是两个法图分量。
正如霍莉·克里格在这个关于填充朱利亚集的有趣视频中所说，函数 f(z)=z2 基本上是唯一一个具有易于理解的填充朱利亚集的函数。产生法图煎饼的函数 f(z)=(z+z2)/2 要复杂得多，难以分析。如果我们选择一些数字代入，我们会看到，例如，0 保持不变，1 也是如此。数字i 最终被吸入 0。但是大小较大的数字最终会跑到无穷远。最终，最终回到 0 的点是这篇文章顶部煎饼的面包。数学上，那是填充朱利亚集或法图域之一。煎饼周围的边界曲线是朱利亚集。这条曲线相当复杂，比看起来更粗糙，尽管它具有令人愉悦的对称性，无论是水平的还是垂直的。用笔和纸很难掌握它们，但您可以使用在线计算器探索朱利亚集。（注意：在线朱利亚集计算器通常适用于 f(z)=z2+c 形式的函数，您可以在其中看到当您改变变量 c 时会发生什么，而不是以 f(z)=(z+z2)/2 这样的形式编写的函数。函数 f(z)=z2+1/8 和 f(z)=(z+z2)/2 具有相似的朱利亚集。）
无论您是否选择用面粉和酪乳制作填充朱利亚集，法图日快乐！
阅读更多我最喜欢的空间： 康托集 胖康托集 拓扑学家的正弦曲线 康托的漏帐篷 无限耳环 具有两个原点的直线 具有两个房间的房子 法诺平面 环面 三环面 莫比乌斯带 长线 空间填充曲线 沃利斯筛 沿裂缝粘合的两个环面 空集 门格海绵 四个霍普夫环的连通和 博罗梅安环 谢尔宾斯基三角形 单位正方形上的字典序 SNCF 度量 曼德勃罗集