本文发表于《大众科学》的前博客网络，仅反映作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
上个月，我写了关于康托集的文章，这是一个有趣的数学空间，兼具小和大。说它小，是因为它的长度为0。但说它大，是因为它是不可数的。一旦数学家接触到某个对象，他们的第一反应之一就是调整它，看看会发生什么。这就是我们最终得到胖康托集的原因。
如果有人谈论the康托集，他们指的是我之前写过的标准中间三分集。它的创建方法是从 [0,1] 区间开始，并移除它的中间三分之一，这样我们就剩下区间 [0,1/3] 和 [2/3,1]。然后从每个剩余区间中移除中间三分之一，这个过程永远重复下去。令人惊讶的是，最后还剩下一些东西，但没有长度。移除的总长度加起来为 1，即原始区间的长度。
关于支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您将有助于确保有关塑造我们当今世界的发现和想法的有影响力的故事的未来。
对康托集进行的首个逻辑调整是将中间三分之一更改为其他分数。如果我们改为移除每个区间的中间四分之一会发生什么？所以我们从 [0,1] 开始。在第一步中，我们剩下区间 [0,3/8] 和 [5/8,1]。然后我们不断从每个区间中移除中间四分之一（长度为 3/32 的线段）。您可能会认为，因为我们在每一步移除的量较少，所以最后会剩下更多，但事实并非如此。如果您将我们移除的所有区间的总长度加起来，我们仍然会得到 1。这个康托集实际上并没有比上一个更有趣。我们也不是仅仅运气不好。如果我们每次都保持相同的比例，我们总是会最终移除总长度为 1 的区间。有一些方法可以区分中间三分、中间四分或中间任何分的康托集，但现在我们将尝试以不同的方式摆弄康托集。
接下来要尝试的是改变我们在每一步移除的区间的比例。我们将首先再次移除中间四分之一，这样我们就剩下 [0,3/8] 和 [5/8,1]。但在下一步中，我们只会从每个剩余区间中移除长度为 1/16 的区间。现在情况发生了一些变化。之前，我们的第二步是移除长度为 3/32 的线段，这比 1/16 略长。在我们新的构造中，我们将不断缩小我们在每一步移除的剩余区间的比例。
下面描述的胖康托集的五个构造步骤。图片来源：Inductiveload，通过维基共享资源。
在步骤 1 中，我们从我们开始的一个区间中移除长度为 1/4 的区间。
在步骤 2 中，我们从每个剩余的两个区间中移除长度为 1/16 的区间，移除的总长度为原始长度的 1/8。
在步骤 3 中，我们从每个剩余的四个区间中移除长度为 1/64 的区间，移除的总长度为 1/16。
我们继续这个模式。在步骤 n 中，我们移除总长度为 1/2n+1 的区间。
如果我们无限次地执行此操作，我们移除的总长度为 1/4+1/8+1/16+…，加起来为 1/2。现在我们有所发现了！
这种构造称为 Smith-Volterra-Cantor 集或胖康托集。康托集的（一维）测度为 0，因为我们从起始区间移除了所有长度，但胖康托集有一些肉——具体来说是完整区间 [0,1] 的一半肉。但是肉在哪里？根据设计，胖康托集没有实心区间。我们要求每次看到一个区间，我们都会移除它的一部分。不知何故，有一些长度在那里徘徊，但它不是以我们熟悉的形式徘徊。如果我们试图抓住它，我们只能抓住尘土。
康托集挑战了我对小和大事物的直觉。胖康托集更是颠覆了我的直觉。当一个物体没有小线段在其中时，它怎么能有明显的长度呢？好吧，这不完全公平。区间 [0,1] 中所有无理数的集合的一维测度为 1，所以它和整个区间一样“长”，这似乎并不太违反直觉。无理数无处不在。你随便挥舞棍子都能碰到一个。在数学上，我们说它们在区间中是稠密的，或者在所有实数的集合中是稠密的，这意味着我们选择的区间的每一个小片，无论多么小，都将包含无理数。稠密度，或缺乏稠密度，使胖康托集更加奇怪。胖康托集在 [0,1] 区间中不是稠密的，甚至在其中的任何较小区间中也不是稠密的。无论您放大多少倍，您都能够找到没有任何胖康托集点的完整区间。我们将这样的集合称为无处稠密。
我们构造的胖康托集的长度为 1/2 并没有什么特别之处。事实上，通过改变每一步移除的区间的大小，我们可以得到我们想要的那么薄或那么胖的康托集，在合理的范围内。我们无法得到一个实际达到长度 1 的胖康托集，但我们可以尽可能接近我们想要的程度。无论我们把胖康托集做得多大，它们都不会有任何完整的区间，而且它们将是无处稠密的。它们里面有一些东西，但它在哪里呢？
我第一次看到康托集是在康托函数的构造中，我上个月写了关于康托函数的文章。康托函数，或称魔鬼阶梯，向我们展示了与微分和积分相关的微积分基本定理的一些局限性。胖康托集也可以做到这一点。具体而言，意大利数学家维托·沃尔泰拉（Vito Volterra，1860-1940）使用这些集合之一来构建一个函数，该函数是可微的，但其导数不可积分。
我将用这张沃尔泰拉函数的图片激起您的一点兴趣。它非常狂野，您可以从维基百科或David Bressoud 的讲座幻灯片中了解更多信息。它可能会颠覆您的思维。
阅读更多关于我最喜欢的空间： 康托集 拓扑学家的正弦曲线 康托的漏帐篷 无限耳环 具有两个原点的直线 带有两个房间的房子 法诺平面 环面 三环面 莫比乌斯带 长线 空间填充曲线