我最喜欢的一些空间：康托的漏帐篷

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

我必须承认，在写关于 π-Base（一个收集有趣数学空间信息的网站）之前，我并不知道康托的漏帐篷。它的名字非常奇特有趣，以至于我不得不了解更多关于它的信息。在阅读关于漏帐篷之前，您可能需要熟悉康托集——幸运的是，我在三月份写过关于它的文章。

为了构造康托的漏帐篷，有时也称为 Knaster-Kuratowski 扇，您首先需要将康托集放在欧几里得平面的 x 轴上，并添加点 p=(1/2,1/2)。然后，您用直线将康托集中的每个点连接到点 p。此时，我们有了一个漂亮的防水帐篷。

现在我们在上面戳洞。康托集中有两种类型的点。一些点，如 0、1/3 和 1，是被移除区间的端点，而另一些点，如 1/4，则不是。我们将分别考虑这两种类型的点。对于康托集中的每个点 x，我们都有一条连接 x 到 p 的线。我们将修改这些线。

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如果 x 是一个端点，我们只考虑线上 y 坐标为有理数的点。如果 x 不是端点，我们只考虑线上 y 坐标为无理数的点。现在，从康托集到 p 的每条线都已被完全打碎。

令人惊讶的是，我们并没有只剩下平面上散落的点。康托的漏帐篷是连通的。

要定义一个空间连通意味着什么出乎意料地困难，但当我在写关于拓扑学家的正弦曲线时，我尝试过。基本上，如果我们找不到两个集合 A 和 B，使得空间的一部分在 A 中，一部分在 B 中，并且空间 A 和 B 不重叠，那么该空间就是连通的。（我们还需要一个技术条件，即 A 和 B 是开集，这意味着在每个集合中的每个点周围，都有一个也位于该集合中的“blob”。如果您想了解更多详情，请查看上个月的帖子。）

我们在康托的漏帐篷上戳了很多洞，所以它看起来肯定应该是断开连接的。如果您试图从康托集中的一个点走到点 p，您是无法做到的。但不知何故，这还不太够。

康托的漏帐篷是连通的完整证明非常复杂，所以我在这里留下一个链接供勇敢的读者参考。我思考这个问题的方式是从尝试将帐篷放入两个独立的开集 A 和 B 开始。点 p 很特殊，所以我首先处理了它。它必须在集合 A 或集合 B 中，所以不妨设它在 A 中。然后因为 A 和 B 都是开集，所以在 p 周围必须有一个完全位于 A 内的“blob”。这个“blob”必须包含来自所有线的点，所以某些线上必须在某处有一些过渡点，这样一些线才能在 B 中有点。准确地找出哪里出了问题是乐趣（和挑战）所在。

康托的漏帐篷是连通的，但只是勉强连通。顶部点 p 就像挂在毛衣上的线：如果您拉一下它，整个东西就会散开。当我们移除 p 时，集合不仅变得断开连接，而且变得尽可能地断开连接。您可以很容易地将其分成两个不相交的部分：其中一部分包含 x 坐标小于 1/2 的点，另一部分包含 x 坐标大于 1/2 的点。但它甚至更混乱：新集合（有时称为康托帐篷）中没有两个点在同一个连通部分中。对于任意两个点，您总能找到一种方法将康托帐篷分成子集，使这些点彼此分离。康托的漏帐篷只有一个连通部分，但康托帐篷有无限多个，而且它们只是单个点。如果您对术语感兴趣，p 被称为离散点，而没有任何大于一个点的连通部分的集合被称为完全不连通。

如果康托的漏帐篷对您来说还不够，那么还有一个相关的空间叫做康托的更漏的帐篷，它颠倒了有理数和无理数的高度。即使有理数和无理数的集合都是无限的，但无理数更多，因此这些集合并非完全可互换。在康托的漏帐篷中，康托集的可数个端点与线上到 p 的可数个有理点配对。更漏的帐篷将可数个端点与不可数个无理点配对，并将不可数个非端点与可数个有理点配对。这种不匹配足以在很大程度上改变某些属性，并证明了严格证明对数学家的重要性。我上面概述的论点似乎适用于这两个集合，但虽然漏帐篷是连通的，但更漏的帐篷不是。要了解更多关于康托的更漏的帐篷的信息，请查看这个 Math Stackexchange 帖子。

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