我最喜欢的一些空间：安托万项链

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点

有时候，在有趣的数学例子的世界里，似乎所有的道路都通向康托集。或者，也许更像是所有的道路都从康托集开始。我在这里的第一篇“我最喜欢的空间”帖子是关于康托集的，我写这篇文章是因为我想写一个基于康托集的函数，我觉得我试图在一篇文章中塞进太多的内容了。我们最近的“我最喜欢的定理”节目以重要的方式介绍了康托集和一个相关的空间，康托尘。感觉我走到哪里，都会遇到康托集。

不过，我感觉说这个康托集有点奇怪，因为对于我今天写的空间，称之为一个康托集更有意义。标准的中间三分之一构造，您可以在这里阅读，只是思考具有三个特定数学性质的空间的一种方式。任何具有这些性质的空间都可以称为康托集，并且在某种意义上，中间三分之一构造没有什么特别之处。它只是到达具有一些特殊性质的空间的一种方便方式。

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以下是规则。

• 首先，空间必须是完全不连通的，这意味着没有两个点位于空间的同一个“块”中。像圆形这样的空间将是连通的，因为所有的点都在同一个块中。看起来像两个相互连接的圆的空间将是不连通的，但有两个各自连通的部分。然而，对于中间三分之一的康托集来说，任何两个点之间都有一定的有限距离，并且构造保证在集合中不会留下该长度的线段。

• 其次，空间必须是紧致的，现在这意味着它完全包含在某个有限半径内，并且包含集合中所有接近某个极限的点，恰当地称为极限点。经典的例子是区间 (0,1)，所有大于 0 小于 1 的点都不是紧致的，因为你可以想象一系列点接近 0 和 1 的极限，但是这些点不包含在该集合中。另一方面，包含端点 0 和 1 的区间 [0,1] 是紧致的。

• 第三个条件与第二个条件有点相反。在紧致空间中，每个极限点都必须是空间的一部分。这里，空间中的每个点都必须是一个极限点。另一种思考方式是，没有点远离集合中的所有其他点。每个点都有附近的邻居。此属性称为完美集。

所有完全不连通的、紧致的、完美的集合都是康托集，无论它们是否来自中间三分之一构造，并且所有康托集都彼此同胚，这意味着有一种方法可以将其中一个空间连续地揉捏到另一个空间并再次揉捏回来。

我写这个相当长的序言，是为了真正描述安托万的项链，因为它是一个康托集，它不能立即被识别为等同于中间三分之一构造，我不想纠缠于试图在这里挖掘中间三分之一构造。安托万的项链是一个康托集——事实上，也许我应该说安托万的项链是康托集，因为我们可以制作无数的项链，所有这些项链在某些方面相似，在某些方面又不同。这个构造最初是由法国数学家路易斯·安托万在 1921 年的论文中描述的，但我参考了 Beverly Brechner 和 John Mayer 的《大学数学杂志》文章来撰写这篇文章。

我们可以分阶段构建安托万的项链。我们从一个位于三维空间中的实心环面（甜甜圈形状）开始。这是安托万项链的第 0 层。

现在我们用一个较小的环面链替换环面，该环面链完全位于第一个环面内，以获得构造的第 1 层。有多少个较小的环面？随你喜欢！Blacklemon67 是将安托万项链图片上传到 Wikimedia Commons 的慷慨的人，他选择了 18 个，所以我们也使用 18 个。

现在我们用另一条较小的环面链替换链中的每个环面，在这种情况下，再次为 18 个。

您可能正在感觉到一种模式。在每个阶段，我们都用一条较小的环面链替换每个环面，并且我们永远这样做。

要验证安托万的项链是否是康托集，我们必须检查它是否满足上述三个条件。我不想在这里深入细节来破坏您的乐趣，但是您可以查看 Brechner 和 Mayer 的文章以获取更多信息。

安托万的项链说明了一个关于数学中空间等价方式的微妙事实。同胚是等价的一种形式。所有康托集都是同胚的，这意味着有一种方法可以以连续的方式将我们的安托万项链之一的点映射到康托集的点，以便从康托集到安托万项链的函数的反向版本（或逆函数）也是连续的。

但是，我们可以要求另一个更强的等价定义。我们可以要求从一个数学对象到另一个数学对象的这个连续函数以及连续的逆函数也是周围两个对象的环境空间的同胚，这基本上意味着它不仅必须对数学对象友好，而且对对象所在的整个宇宙都友好。这称为环境同胚。就康托集和安托万项链而言，我们做不到这一点。这不仅仅是因为我们通常认为康托集存在于二维空间中，而安托万项链存在于三维空间中。我们还可以将中间三分之一的康托集放在三维空间中，仍然会遇到问题。事实上，如果我们在构造的每个级别选择的数字不是 18，那么我们获得的安托万项链在这种更强的意义上也不会等价。关于在特定步骤中要包含的环面数量，我们可以做的每一个选择都会给我们带来一条新的项链。我们可以通过观察它们周围发生的情况来看到这些空间不具有这种更强的环境同胚。

研究空间属性的一种重要方法是观察空间中循环的行为。您可以想象在中间三分之一的康托集（位于三维空间中）之外绘制一个循环，并说服自己可以通过滑动循环使其摆脱空间。康托集将无法阻碍循环。但是，用安托万的项链来想象就比较困难了。现在，仅仅因为更难想象并不意味着我们做不到，但事实就是这样。从围绕安托万项链的空间中的一个循环开始，该循环穿过第一步中实心环面的中心，就好像您将项链本身串到另一条项链上一样。我们永远无法将循环完全从安托万的项链中解开。正如 Brechner 和 Mayer 所说，这就像项链是由没有被任何细绳串在一起的微小珠子制成的，但仍然不会散开。

我真的很喜欢安托万的项链，因为它在某些方面就像是孩子们的游戏。我记得我小时候多么喜欢用由循环组成的循环来制作循环。但是，您可以让孩子们的游戏引导您发现一些微妙而深刻的数学知识。

感谢北卡罗来纳大学阿什维尔分校的数学教授马克·麦克卢尔告诉我安托万的项链，并指出了我发现非常有用的 Brechner 和 Mayer 的文章。 他的网站有一个您可以玩耍和拖动的安托万项链模型，以及许多其他有趣的数学玩具，包括我在关于杜阿迪兔子的帖子中提到的这个朱利亚集探索器。

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