π日谈不同的π

本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

不，不是这种派。图片：flickr/djwtwo。

符号π在数学中是重载的：根据上下文和大小写，π可以是大家熟知的常数（或者讨厌的），一个投影，一个乘积或一个函数。关于圆周率常数已经有大量的东西可以阅读，所以今天我来写写其他的π之一。

今天的π是素数计数函数。（素数是一个只能被1和它自身整除的整数。素数不能以有趣的方式写成两个其他整数的乘积。）函数π(x)很容易理解：对于任何正数x，π(x)告诉你小于或等于数x的素数有多少个。所以π(1)是0，因为没有小于2的素数，π(2)=1，因为2是素数，π(3)=2，因为2和3都是素数，π(4)=2，等等。

支持科学新闻

如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您将有助于确保未来关于塑造我们当今世界的发现和想法的具有影响力的故事。

我一直在思考π(x)，因为我最近发现了推特账号@_primes_。每小时的半小时，它都会发推文下一个素数。（详情请见github。）例如，几周前，它发布了这个素数，离 π ×10,000 不远。

31397

 

— 素数 (@_primes_) 2014 年 2 月 20 日

当然，当我发现这个账号时，我脑海中出现的第一个问题是，我们需要多久才能让 Twitter 的 140 个字符限制阻止 @_primes_ 发推文下一个素数。换句话说，有多少个素数小于 10¹⁴¹？（这是一个 1 后面跟 141 个零，是第一个不适合发推文的整数。）这就是素数计数函数的作用。我需要知道 π(10¹⁴¹) 的值。这距离 @_primes_ 必须收起它的小球回家还有多少个小时。

我赶紧去查 π(10¹⁴¹)。搞定了。好吧，算是吧。唯一的问题是我们实际上不知道 π(10¹⁴¹) 是什么。大数很大，而且它们的大是难以理解的。写出 10¹⁴¹ 只需几个字符，但它是一个大得不可能的数字。已知宇宙中只有大约 10⁸⁰ 个原子，因此 10¹⁴¹ 是 10⁶¹ 个宇宙中的原子数。所有这一切都表明，我们不知道 π(10¹⁴¹) 是什么，我应该不会感到惊讶。事实上，我们知道 π(x) 精确值的最大数x是10²⁴。这是一个非常非常大的数字，但只是 10¹⁴¹ 的一个很小的很小的分数。

幸运的是，我们有素数定理，它几乎和知道 π(10¹⁴¹) 一样好。素数定理告诉我们，当 x 越来越大时，π(x) 接近比率 x/ln x，其中 ln 是自然对数，或以 e 为底的对数。估计值随着 x 越大而越好，因此数字 10¹⁴¹/ln 10¹⁴¹ 是我们在 Twitter 上可以容纳多少个素数的很好估计。而那个数字也是...大得不可能。具体来说，它大约是 3×10¹³⁸，或 10⁵⁸ 个宇宙中的原子数。哎呀！

还记得我说大数很大吗？我不太擅长推理大数。现在对我来说很明显，10¹⁴¹/ln 10¹⁴¹ 应该只比 10¹⁴¹ 小几个数量级，但当我第一次看到它时，我感到很惊讶。10¹³⁸ 对我来说太大了！但这是真的。与 10¹⁴¹ 相比，10¹³⁸ 相当小。

这个计算消除了我担心 @_primes_ 发出令人愉快的推文只剩下几年的恐惧。3 × 10¹³⁸ 小时大约是 3×10¹³⁴ 年，或宇宙年龄的 2.5×10¹²⁴ 倍。在一个不确定的世界中，有一件事是肯定的：在字符限制阻止 @_primes_ 发推文下一个素数之前，你、Twitter、我们的太阳和我都会早已死去。真是松了一口气！

*哎呀，10¹⁴⁰，一个 1 后面跟 140 个零，是第一个不适合发推文的数字，而不是 10¹⁴¹。我保持了帖子中的数字不变。如果你需要更精确的估计值，你可以将相同的分析应用于 10¹⁴⁰ 而不是 10¹⁴¹。别担心，在字符限制阻碍 @_primes_ 机器人之前，还有很长一段时间！