本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
素数通常被描述为数学的“原子”，或者至少是数字的原子。一个素数恰好有两个不同的因数：它本身和 1。（因此，1 不被认为是素数。）所有大于 1 的整数要么是素数，要么是素数的乘积。
一个好奇的人可能会问关于素数的第一个问题是素数有多少，而最早证明素数有无限多个的证明之一是来自欧几里得《几何原本》的一个可爱的论证。
欧几里得的证明从一个有限的素数列表开始，并描述了一种生成列表中没有的素数的方法。如果你的素数是 p1, p2, p3,…,pn，则将它们全部相乘：p1×p2×p3×…×pn 并加 1。这个数，p1×p2×p3×…×pn +1，不能被我们列表中的任何素数整除；当我们用其中一个素数除它时，余数是 1。因此，有限的素数列表是不完整的。
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关于这个证明的一个常见误解是，数字 p1×p2×p3×…×pn +1 本身必须是素数。情况不一定如此。为了理解原因，我们可以开始思考，如果我们从第一个素数 2 开始，并使用欧几里得证明中的过程来寻找新的素数，我们会得到什么数字。第一个很容易：2+1=3，3 是素数。为了找到下一个数字，我们将 2×3 相乘并加 1 得到 7，它是素数。继续：2×3×7+1=43，也是素数。2×3×7×43+1=1807，它是 13×139。
欧几里得-穆林序列是一个以 2、3、7、43、13 等开始的序列：第一项是 2，随后的每一项都是 1 加上所有先前项的乘积的最小素因数。它是整数序列在线百科全书中的序列 A000945。
（题外话：欧几里得-穆林序列是数学中命名时间跨度最大的多同名术语吗？欧几里得，或者撰写欧几里得《几何原本》的人或群体，生活在公元前 300 年左右的亚历山大里亚；美国数学家和工程师阿尔伯特·穆林出生于 1933 年，卒于 2017 年。如果您知道一个术语是以生活在相隔 2200 多年的人命名的，请在Twitter上告诉我。）
肯·里贝特在我和我的联合主持人凯文·努森为我们的播客我最喜欢的定理与他交谈时提到了欧几里得-穆林序列，从那时起它就一直在我的脑海中萦绕。该序列有无限多项，但我们只知道其中的 51 项。随着项数的增加，我们遇到了非常大的数字，这些数字需要很长时间才能分解，部分原因是该序列的跳跃性很大。第七项是数字 5，但第九项有 14 位数字！查找序列的第 52 项需要分解一个 335 位数字。
我们不知道每个素数是否都出现在欧几里得-穆林序列中。已知没有出现在列表中的最小素数是 41。选择最大而不是最小的素数的相似序列，该素数可以整除1 加上先前项的乘积避免了无限数量的素数。如果欧几里得-穆林序列确实避免了一些素数，为什么？我们能否查看一个素数并判断它是否在该序列中？
我被可爱又有趣的数学所吸引，所以我希望欧几里得-穆林序列包含所有素数。我喜欢它会给我们提供一个将素数放入其中的新自然顺序这一事实。这就像将字母按其发音的字母顺序排列一样
HRABDWEFXLMNSIJGKQOPCTVYUZ（发音拼写有点争议，您的里程可能会有所不同）。
另一方面，如果我们能够以某种方式确定该序列不包含所有素数，但我们无法弄清楚哪些素数永远不会出现，那不是很可笑吗？我认为，最不有趣的选择是有人找出一个简单的规则，该规则将确定一个数字是否在欧几里得-穆林序列中。但是，嘿，一线希望是，我们实际上可能会因此对素数有一些了解！