本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
四色定理在数学界相当有名，原因有几个。首先，它很容易理解：平面或球体上的任何合理地图（换句话说，我们世界的任何地图）都可以用四种不同的颜色着色，这样任何两个相邻的国家都不会共享一种颜色。
其次，计算机在四色定理的证明中发挥了重要作用。该定理于 1852 年被提出作为一个猜想，但人们直到 1976 年才能够证明它，当时肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯将问题简化为若干（准确地说是 1936 个）特定情况，并编写了一个计算机程序来检查每种情况。这是第一个使用计算机证明的主要定理，对于某些人来说，它引发了关于证明定理的意义的问题。这个计算机证明“算数”吗？数学家很快就要过时了吗？人们仍在争论计算机在数学证明中的作用以及数学作为人类事业的未来。
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但这并不是我今天要谈论的内容。相反，我想玩得开心，给地图着色。几周前，我拜访了一位在社区学院担任数学讲师的朋友。她正在为中学生的推广活动做准备，她要谈论的主题之一是四色定理。
我们俩对四色定理都不是那么熟悉，所以我们做的第一件事是弄清楚定理的规则到底应该是什么。似乎很明显，如果一个人足够调皮，他可以绘制出不符合定理的奇怪地图。稍微涂鸦了一下后，我们发现不连贯的区域是不行的。如果一个国家分成两块（比如美国，阿拉斯加和美国本土 48 州是两个独立的区域），你就不能保证这两个区域可以被涂上相同的颜色，并且仍然得到一张四色可着色的地图。更难弄清楚的是，一个国家不应该有洞，或者完全包围另一个或多个国家。** 非洲是四色可着色的，但严格来说，完全包围莱索托的南非不符合定理的假设。此外，仅在角落接触的区域，如犹他州和新墨西哥州，可以涂上相同的颜色。如果没有这条规则，我们可以创建一个披萨形状的国家，其中包含任意数量的切片形状的州，并且每个州都需要自己的颜色。
接下来显而易见的问题是，是否有任何地图实际上需要四种颜色。毕竟，在四色定理之前，有一个五色定理。我们真的应该有一个三色定理吗？不。有些地图需要四种颜色。一个现实世界的例子是奥地利。它被七个*国家环绕，正如你在下面的图片中看到的，这造成了一个问题。
在我们弄清楚四色定理的规则之后，我们想看看想出一个地图的四色着色是容易还是困难。我的朋友打印了一张欧洲大陆的地图，减去了斯堪的纳维亚半岛的大部分地区（只是为了让它足够大，以便令人满意地着色。我们对斯堪的纳维亚半岛没有任何意见。嗯，咸甘草！），然后我们开始着色。这实际上非常舒缓。我制作的第一张地图，我试图保持颜色的良好平衡。我从奥地利开始，因为我知道这是一个有问题的国家（不是在现实生活中！嗯，炸肉排！），并且在立陶宛附近有一个时刻，我差点搞砸了，创造了对第五种颜色的需求，但我设法避免了它。我的结果地图在这篇文章的顶部。
对于我的第二张地图，我的目标是“最少”的四色着色，这意味着我可以用前两种或三种颜色完成多少？我从西部开始，并尝试尽可能多地使用橙色和蓝色。然后我尽可能多地使用紫色，然后再求助于绿色。我最终只使用了四个绿色国家，尽管我确实将它用于乌克兰，乌克兰很大。
我的“贪婪”着色可能不是最优的。我只是在从左到右移动时随意制作的，并且可能有更好的方法来做到这一点，以最小化着色为紫色和绿色的国家数量或地图的总面积。我已经看到，仅通过切换波兰和乌克兰，我就可以减少绿色的使用，而不会弄乱任何其他东西。这让我好奇，人们可能会如何开发一种算法来最小化使用第四种颜色的国家数量或面积，以及是否有时可能会以增加第四个国家的另一个国家为代价来最小化面积。
我在给地图着色时没有学到任何深刻的东西，但如果我从事证明关于地图的定理的业务，这可能是一种发展我的直觉的好方法。我的“贪婪”着色帮助我提出了一些关于地图着色的好问题，而在数学中，提出好问题几乎与能够回答问题一样重要。如果您想发展您的四色着色技能，这里有一个欧洲的可着色地图：这里。
*奥地利实际上被八个国家环绕，但列支敦士登与奥地利的边界完全被瑞士与奥地利的边界包围，因此它不会改变所需颜色的数量。换句话说，如果瑞士吞并了列支敦士登，我们仍然需要四种颜色来为奥地利周围的地图区域着色。但如果它吞并了德国，我们只需要三种颜色。这实际上是一个奇偶问题。在美国地图上，您可以比较内华达州周围的区域和犹他州周围的区域，以自行研究这种现象。
**2013 年 3 月 5 日更新：这句话是不正确的，下一句也是如此。我写了一篇后续文章，描述了为什么有孔洞的区域不会干扰四色可着色性。