本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我为《自然新闻》写了一篇文章，内容是关于近期一项关于素数意外发现。一个以 1 结尾的素数不太可能紧跟着另一个以 1 结尾的素数，这种可能性比随机概率所预测的要低。这一发现更具普遍性，它扩展到所有素数，而不仅仅是以 1 结尾的素数，并且涵盖了除 2 以外的任何基数中的最后一位数字。如果您想亲自阅读，他们的论文在 arXiv 上。
这个结果令人惊讶，因为素数虽然绝对不是随机的，但看起来行为却像随机数。正如埃丽卡·克拉赖希在她（一如既往地出色）关于这一现象的 Quanta 文章中所写的那样，将素数视为本质上是随机的“在预测真实素数的某些特征方面做得非常出色，例如，预测两个连续完全平方数之间有多少个素数。” 如果我们假设素数是随机的，我们预计 1 后面跟着 1 的概率为 25%；对于十亿以下的素数，实际数字是 18%。
斯坦福大学数学家罗伯特·莱姆克·奥利弗和坎南·桑达拉拉扬注意到了这种模式，他们使用哈代-李特尔伍德 k 元组猜想来解释这种现象。在与另一位数论学家詹姆斯·梅纳德讨论他们的工作时，我了解到关于这个猜想，或者更确切地说是关于它及其姊妹猜想的一些奇特而令人不安的事情。
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k 元组猜想是关于素数分布的两个哈代-李特尔伍德猜想之一。它通过考虑到素数没有小素因子的事实，改进了素数是随机的启发式方法。正如我在《自然新闻》文章中写道：
其背后的想法是，存在一些不可能出现的素数配置，这使得其他簇更有可能出现。例如，连续的数字不可能同时都是素数——其中一个总是偶数。因此，如果数字 n 是素数，那么 n + 2 是素数的可能性比随机概率所暗示的要稍高。k 元组猜想用一个适用于所有类型素数簇的通用陈述来量化这一观察结果。
因此，k 元组猜想给出了孪生素数、性感素数和素数三元组应该有多少个的相当精确的估计，到目前为止，这些估计与观察到的数据非常吻合。
另一个哈代-李特尔伍德猜想是看似无害的陈述，即前 n 个数中的素数多于数轴上任何其他位置开始的 n 个数的字符串中的素数。例如，100 以内的素数应该多于 900 到 1,000 之间的素数，而 1,000 以内的素数应该多于 130,000 到 131,000 之间的素数。
对我来说，这个猜想甚至比 k 元组猜想更合理，部分原因是它更直接。素数只是如此头重脚轻！素数定理，如果曾经有过一个出色的定理，它表明素数在数轴上越远越稀疏，并精确地说明了稀疏多少。小于 n 的素数数量与素数的位数成正比。一个 4 位数的数成为素数的可能性是一个 2 位数的一半。
100 以内有 25 个素数，1,000 以内有 168 个素数。我很难相信数轴上存在一些素数聚集得足以弥补那些非常密集区域的地方，这就是为什么 k 元组猜想看起来如此合理。
如果您问我关于这些猜想，我会说它们听起来都很合理，而且我并不孤单。数论巨擘G. H. 哈代和约翰·李特尔伍德在 1923 年的同一篇论文中提出了这两个猜想，但它们不可能同时为真。1974 年，伊恩·理查兹发表了一篇论文，表明第二个猜想与第一个猜想相矛盾，并假设第一个猜想更有可能成立。今天，数论学家普遍假设第一个猜想，即 k 元组猜想，并且许多证明都以该猜想为前提。
基于数论学家的共识以及似乎支持 k 元组猜想的许多计算，我勉强接受了这样一个事实：在广阔的素数空间中，某个地方存在一个簇，其数量超过了第一段素数。