本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
上个月，我写了关于通过猴子讲解群论的文章，这让我开始思考结合律。一个数学群由一系列事物组成：整数、有理数，甚至更抽象的东西；以及一种运算，可以将你的事物的任意两个元素组合成另一个事物元素。
事物和运算要成为群必须遵守的规则之一是结合律：你组合事物的顺序无关紧要。群的典型例子是整数与加法运算。在这种情况下，结合律表示，如果你要加 1+2+3，那么先加 1 和 2，还是先加 2 和 3，都无关紧要。
加法和减法是类似的运算。在学校里，我们通常先学习加法，然后学习减法。后来，当我们学习负数时，我们了解到减法只是加上一个负数。因此，如果加法遵循结合律，那么减法似乎也应该遵循。
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保未来能够继续讲述关于发现和塑造我们当今世界的想法的有影响力的故事。
但事实并非如此！在表达式 5-4-3 中，我们根据分组方式得到不同的答案。(5-4)-3=-2，而 5-(4-3)=4。同样，减法与加法也不符合结合律。(5-2)+4=7，而 5-(2+4)=-1。
如果我们用加上负数来代替减号，问题就消失了。换句话说，如果我们看到表达式 5-4-3，我们将其转换为 5+(-4)+(-3)。那么答案明确为 -2，因为通过用加上负数代替减号，我们已经选择了减法的顺序。
我们可以再深入一层：负数是什么？这是一个哲学问题，但一种思考负数开头的负号的方式是将其视为一元减法的符号。一元运算符是只接受一个输入的运算符。我们最初接触的减法是二元运算，例如 5-3，但是当我们看到负数时，我们省略并理解表达式开头的 0。数字 -2 是 0-2 的简写。
当我的互联网朋友，也是优秀数学博客 The Aperiodical 的编辑之一发推文说
我们有一元负号，即“-2”与“0-2”相同。为什么我们没有一元除法，即“÷2”可以表示与“1÷2”相同的意思？— Christian Perfect (@christianp) 2014年6月17日
乘法和除法与加法和减法具有类似的关系。（以 SAT 类比的形式，愿他们安息，加法：减法::乘法：除法。）乘法是“默认”运算，除法是逆运算。再一次，乘法符合结合律，但除法不符合。(12÷6)÷2=1，而 12÷(6÷2)=4。除法与乘法也不符合结合律，这是那些有时在 Facebook 上流传的糟糕的数学问题的困惑来源。6÷2(1+2) 是模棱两可的，因为除法与乘法不符合结合律，以及我们在如何解释运算顺序方面的不一致，运算顺序有时称为 PEMDAS、BEMDAS、BODMAS 或 BIDMAS。
一元减法是仅使用加法和减法的类似问题不模棱两可的原因之一。因为我们非常习惯使用一元减法，所以我们自动将问题 5-4-3 做成 5+(-4)+(-3)，这与严格从左到右做题相同。（我不是数学符号史专家，但我注意到这可能是一个先有鸡还是先有蛋的情况：一元减法的发展是因为我们致力于从左到右做加法/减法问题吗？还是一元减法以及我们对负数的熟悉程度，使这成为处理加法/减法问题的自然方式？）
如果我们有一元除法，我们会在 Facebook 上就运算顺序展开口水战吗？正如 Perfect 在推特上所说，标记它并不难：一元减法使用加法恒等元 0 作为理解的第一个项。类似地，一元除法将使用乘法恒等元 1 作为理解的第一个项。÷2 将表示 1÷2，或 ½，就像 -2 表示 0-2 一样。
如果我们在像 5-4-3 这样的表达式中以与自动使用一元减法相同的方式使用一元除法，那么 6÷2(1+2) 可能意味着 6×½×(1+2)，而 9 将是明确的答案。一元除法将为我们选择进行除法和乘法的顺序。它将加强乘法和除法具有相同的优先级并且应该从左到右执行的观念。
但是这个问题中歧义的另一个来源是缺少乘号：2(1+2) 表示 2×(1+2)。当不带乘号书写时，有时称为“并置乘法”。有些人将并置乘法解释为优先于使用乘号的乘法。因为没有并置加法这种东西，所以不清楚在一个也有一元除法的世界中，我们将如何处理并置乘法。（播放戏剧性的电影预告片音乐，配音：“在一个拥有一元除法的世界里……”）
臭名昭著的 Facebook 问题的答案不是 1 或 9，而是首先在表达式中添加更多括号，以使其不再模棱两可！数学符号不是上帝赐予的神圣卷轴，我们必须正确解释它，而是我们为了使交流更轻松而创造的东西。如果我们有被误解的危险，我们应该只添加几个符号来澄清它。