本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
周二，《大众科学》迎来了 167 岁生日。这看起来不像是我们通常庆祝的那种周年纪念日，因为我们十进制规范的数字系统过分重视以零和五结尾的数字，但 167 是一个非常棒的数字。首先，我们可以插入两个符号使其成为正确的数学语句：1 + 6 = 7。这不是很棒吗？但这还不是全部。
也许最适合我们生日派对的是，167 是一个快乐数。（是的，这是一个技术术语。）这个术语的起源未知，但要确定一个整数是否是快乐数，我们只需不断重复将各位数字的平方相加的过程。如果我们最终得到数字 1，则该数字是快乐数。对于 167，我们得到 12 + 62 + 72 = 1 + 36 + 49 = 86。然后我们重复：82 + 62 = 64 + 36 = 100。我们快到了：12 + 02 + 02 = 1。我们成功了！直到 2021 年，我们的 176 周年纪念日（请注意，这些数字分别是当年年份和周年纪念日的数字字谜）我们才会再次快乐，并且在 1 到 10122 之间的数字中只有 15.5% 是快乐数，所以我们应该好好享受它。
如果我们将视野扩展到十进制数字系统的约束之外，我们可以更多地玩转 167。无论何时您写下一个数字，您都在隐式地使用一个基数，无论您是否意识到这一点。通常我们使用十进制，这意味着数字最右边的位置是个位（100），左边下一个位置是十位（101），再下一个是百位（102），依此类推。但是任何数字都可以替换上面描述中的 10。例如，计算机使用二进制，即以 2 为基数的系统。要用二进制写 167，我们首先将其写成 2 的幂之和：167 = 128 + 32 + 4 + 2 + 1。这变为 27 + 25 + 22 + 21 + 20，在二进制中是 10100111。
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因此，也许我们应该探索不同的基数，看看 167 在其中任何一个中是否看起来更好。偶尔有人会提倡十二进制（以 12 为基数）系统，它已经在我们的时钟、标尺和鸡蛋盒中有所体现。但是 167 在十二进制中是 11B，这听起来更像是一部古怪情景喜剧中的公寓，而不是一个体面的数字。（对于大于 10 的基数，我们使用字母来表示数字 10、11 等，因为我们没有剩余的数字。B 指的是 11。）十六进制，即以 16 为基数，它与二进制一起用于计算机编程，也好不到哪里去：A7。
也许我们可以通过搜索小于 10 的基数来找到更好的结果。那么我们肯定不会在我们的数字中陷入任何字母。数字 167 比 9 的倍数大 5，因此在一些可以被 9 整除的基数中，它以 5 结尾，这看起来比那个笨拙的 7 更具庆祝意义。（当然，这只对我们习惯于十进制的眼睛来说显得特别；如果我们用九进制思考，数字 5 就不会具有它现在的意义。）在九进制中，167 写成 205，但我个人更喜欢八十一进制中的 25。它简单而苗条。（这也是《大众科学》告诉人们她的年龄的方式。这不是谎言，而是省略了基数。）
从不同基数的角度来看 167，还会产生另一个有趣的事实：167 是一个严格非回文数，这意味着在 2 到 165 之间的任何基数中，它都不能写成回文数（正反都相同）。（我们停在基数 165，即 167-2 的原因是，每个数字 n 在基数 n-1 中都是回文数。它总是看起来像 11。）到目前为止，严格非回文数的整数百分比尚不清楚，但 167 之后的下一个是 179，在那之后，我们将不得不等到我们 223 岁。
除了上面列出的特征（这些特征肯定足以保证庆祝）之外，167 还是安全素数、高余商数和全循环素数等等。我真的很喜欢最后一个：它暗示存在一个 166 位长的数字，使得它的每个倍数都是数字的循环排列。也就是说，当您将其乘以任何其他整数时，数字完全相同且顺序相同，但起始位置不同，例如 142857 x 2 = 285714。（142857 是最小的非愚蠢示例。）
《大众科学》很高兴庆祝她的 25 岁生日！（*咳嗽，八十一进制咳嗽*）关于数字 167，您最喜欢什么？