本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
詹姆斯·艾布拉姆·加菲尔德于1831年11月19日出生于今天。如果不是因为一个精神不稳定的、妄想症缠身的跟踪者的子弹和十九世纪的“医疗”在他上任仅六个月后就夺走了他的生命，那么今天他将是181岁（稍后会详细介绍）。加菲尔德是一位聪明的人，在大学里学过一些数学，但当时的文献更倾向于强调他在布道、辩论和英语方面的技能和兴趣，而不是数学。目前尚不清楚他是如何与几何学中最著名的定理之一联系起来的。
勾股定理描述了直角三角形边长之间的关系。斜边（最长边）的平方等于另外两条边平方之和，或者更熟悉的公式是 a2+b2=c2。与许多真理一样，有很多种方法可以证明这个定理。在 1876 年 3 月 7 日的日记中，时任俄亥俄州国会议员的加菲尔德提到，他向达特茅斯大学的一位数学教授展示了一个新的证明。同年晚些时候，该证明发表在《新英格兰教育杂志》（现简称为《教育杂志》）上。
这篇文章只占一列的底部三分之一，开头写道：“在对来自俄亥俄州的国会议员詹姆斯·A·加菲尔德将军的个人采访中，我们看到了他对“驴桥定理”的以下论证，这是他在与国会议员 (M. C.) 的一些数学消遣和讨论中偶然想到的。我们不记得以前见过它，我们认为这是两院议员可以不分党派地团结起来的事情。”
支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道： 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保有关当今塑造我们世界的发现和思想的有影响力的故事的未来。
奇怪的是，“驴桥定理”（拉丁语意为“驴子的桥”）通常用于指欧几里得《几何原本》中的等腰三角形定理，该定理认为，在等腰三角形（两条边长度相同的三角形）中，与全等边相对的角本身也是全等的。这个定理的证明有时被认为是欧几里得经典几何文本中的第一个具有挑战性的问题。然而，在这种情况下，很明显“驴桥定理”指的是勾股定理。
这张有用的图表说明了加菲尔德的证明。在这个梯形中，两个较小的直角三角形彼此全等，而较大的三角形是一个等腰直角三角形。它的非斜边边是较小三角形的斜边。该证明依赖于用两种不同的方法计算梯形的面积：使用梯形的面积公式和将三个三角形的面积相加。因为无论我们如何剖析梯形，面积都是相同的，所以我们最终得到了关联较小直角三角形边长的方程。（有关完整详细信息和勾股定理的更多证明，请查看 Wolfram MathWorld 页面上关于勾股定理的内容。）
原创性有时在于观察者的眼中：加菲尔德的确切论证在 1876 年的期刊文章之前没有在其他任何地方出现过，但它与古典中国天文和数学著作《周髀算经》中的一个证明极其相似，该书可能是在公元前一世纪编撰的。
加菲尔德的梯形等同于此图沿着倾斜的粗边正方形的对角线切割的图形。加菲尔德不太可能见过来自该文本的证明，因为它直到 1996 年才被翻译成英文，但相同的证明有可能出现在他确实知道的另一本文本中。
如果加菲尔德活到 181 岁，他肯定会很高兴知道 181 是两个不同的勾股数组的一部分，勾股数组是满足方程 a2+b2=c2 的整数集合，因此构成了直角三角形的边长。当然，当我们允许平方根参与时，任何整数都可以是直角三角形的边长；勾股数组的特殊之处在于所有三个边长都是整数。3-4-5 可能是最著名的勾股数组。它之所以有效是因为 32+42=9+16=25=52。包含 181 的勾股数组是 19-180-181 和 181-16380-16381，因此 181 既是具有整数边长的直角三角形的最长边，也是最短边。
如果加菲尔德做了更多数学研究，他可能会失望地意识到他的年龄并不特别：所有正整数（除了 1 和 2）都是至少一个勾股数组的一部分。
奇数最容易理解。假设一个三角形的一条边长为 n，另一条边长为 n+1。这些边的平方之差将是一个奇数。事实上，(n+1)2-n2=2n+1。因此，如果 2n+1 本身是一个平方数（例如，如果 n=4，则 n+1=5，2n+1=9，即 32），则三角形的第三条边是一个整数，记为 √ 2n+1 。如果 k 是任何大于 1 的奇数，则其平方可以写成 k2=2n+1，其中 n 为某个整数。在这种情况下，数字 k、n 和 n+1 构成一个勾股数组。因此，每个奇数 k 都包含在某个勾股数组中。
对于偶数，我们知道数字 4 出现在勾股数组 3-4-5 中。我们还知道，如果我们将三角形的所有边长都加倍，我们会得到一个边长比例相同的三角形。例如，3-4-5“膨胀”为 6-8-10，这是另一个勾股数组。有兴趣的读者可以使用这些事实来证明，每个大于 2 的偶数都作为勾股数组的边长出现。
不幸的是，加菲尔德总统无法来到这里庆祝他双重勾股定理的 181 岁生日。但也许他的勾股定理证明仍然是“两院议员可以不分党派地团结起来的事情”。