本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
几十年来，科学家们一直在试图解决一个棘手的问题：如果互联网上的猫图片用完了，我们能否使用高等数学生成更多？* 数学家凯瑟琳·林赛和已故的威廉·瑟斯顿在本月早些时候在 arXiv 上发表的一篇论文缓解了人们对“猫片峰值”的担忧。在论文中，他们描述了一种使用多项式的朱利亚集来近似猫或其他物体轮廓的方法。
什么是朱利亚集？让我们从一个例子开始。考虑多项式 z2，其中 z 是复变量 x+iy。为了确定朱利亚集，我们迭代这个多项式，意思是我们将一个数字代入 z，得到一个答案，然后将该答案代回原始多项式。如果我们从数字 z=2 开始，我们得到数字序列 4、16、256 等等。当我们不断迭代时，这个序列无限增长。但是，如果我们从数字 1/2 开始，我们得到序列 1/4、1/16、1/256 等等，越来越接近 0。
通过这种方式，我们可以将 z 的可能性宇宙划分为两个阵营：那些走向无穷大的，以及那些保持有界的。一个多项式的填充朱利亚集是其迭代保持有界的值的集合——在我们的例子中，1/2 或 3/4 或 999/1000。
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在数字 1 处，情况发生了变化。任何小于 1 的值都保持有界，而任何大于 1 的值都趋于无穷大。数字 1 位于填充朱利亚集的边界上。任何填充朱利亚集的边界都是朱利亚集。
但让我们记住，z 可以是任何复数，由实部和虚部组成：x+iy。这些复数可以绘制在普通图表上，实部沿 x 轴标记，虚部沿 y 轴标记。那么，对于我们的 z2 示例，朱利亚集不仅仅是数字 1，它还是复平面中半径为 1 的圆。
林赛和瑟斯顿的工作涉及寻找朱利亚集不仅仅是枯燥的旧圆的多项式。他们想找到多项式（一般形式为 anzn +an-1zn-1+...+a1z+a0），其朱利亚集形成复杂的轮廓——也许是猫的阴影。（数字 n，z 的最大指数，称为多项式的次数。我们的 z2 示例的次数为 2。）
对于二次多项式的朱利亚集，人们已经有了很好的理解，尽管它们通常是分形，而不是像圆这样的简单形状。随着次数的增加，情况变得更加复杂，因为高次多项式很难因式分解。（备受诟病的二次公式——我们能够轻松辨别二次多项式根的原因——是我们的朋友！）人们对 3 次和 4 次多项式的朱利亚集的可能形状了解甚少，但任意多项式的朱利亚集的形状尚未被理解。
林赛是康奈尔大学的数学研究生。她的导师是约翰·斯米利，但瑟斯顿是非官方的第二导师，启动这个研究项目是他的想法。“我当时坐在他家里，他凝视着远方，问道，‘我想知道朱利亚集是否可以被做成形状，’”她说。瑟斯顿一直在致力于更好地理解曼德勃罗集，而研究朱利亚集的形状是一项相关的追求。曼德勃罗集是最著名的分形之一，它与二次多项式的朱利亚集密切相关：想象多项式 z2+c，其中 c 可以是任何复数。如果 0 在 z2+c 的填充朱利亚集中，则数字 c 在曼德勃罗集中。
在他们的论文中，林赛和瑟斯顿证明，对于复平面中的任何简单闭合曲线——无论多么复杂——都存在一个多项式，其朱利亚集任意接近该曲线的轮廓。（如果一条曲线从不与自身相交，则称为简单曲线。您可以将简单闭合曲线想象成您可以在桌子上排列橡皮筋的任何方式，而无需拿起它的任何部分。）换句话说，林赛说，“如果你有任何没有孔或多个部分的形状，它只是一个团块，我们可以制作一个看起来非常接近该形状的朱利亚集。” 这篇博文顶部的猫图片是用 301 次多项式的朱利亚集对猫轮廓的近似。
他们的工作更进一步：在论文的后面，他们表明你可以通过找到每条曲线的多项式，然后以特定的方式组合它们，来近似一对不重叠的简单闭合曲线——想象一下靶心的内外环。为了说明这一点，他们将著名的曼德勃罗集的形状近似为外曲线，将心形近似为内曲线。
然而，他们的工作留下了许多未解决的问题。“你能制作具有多个孔，或两个独立的部分，每个部分都有孔的朱利亚集吗，诸如此类，”林赛说。用具体的猫的术语来说，我们可以生成没有眼睛的猫和眨眼的猫，但还需要更多的研究来近似具有两只睁开眼睛的猫或一次绘制多只猫。
可爱的小猫、蝴蝶和心形插图掩盖了论文中数学联系的深度。这篇论文不仅仅是制作可爱图片的秘诀，还是瑟斯顿和丹尼斯·沙利文将复平面中有理函数的迭代行为与几何学中的高级主题联系起来的工作的延伸。林赛说，“这两个领域都在研究事物的长期动态。随着时间趋于无穷大，会发生什么？”
林赛和瑟斯顿的论文并不是首次使用猫图片来说明数学。阿诺德猫映射是一种反复应用于猫图片的线性变换。图片似乎变得非常拉伸和混乱，但最终胡须先生又会像新的一样凝视着你。为什么是猫？这是一个心理学问题，而不是数学问题。但林赛说，她的猫麦哲伦是论文中第一张图片的灵感。“当我想做数学时，麦哲伦花了很多时间坐在我的论文上，所以这感觉很合适。”
*并非旨在陈述事实。科学家认为太阳会在人类耗尽猫图片供应之前冷却。