本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
编者注：鉴于马丁·加德纳最近去世，我们重新发表这篇来自1998年8月刊《大众科学》的文章。加德纳从1956年到1981年为《大众科学》撰写“数学游戏”专栏，并在之后几年继续偶尔撰写专栏。本文包括马丁·加德纳的四个谜题，是他为该杂志撰写的最后一篇文章。
我的“数学游戏”专栏始于1956年12月刊《大众科学》上的一篇关于六角怪环的文章。这些奇特的结构，通过将普通纸条折叠成六边形，然后将两端粘合在一起而制成，可以反复翻转，显示一个或多个隐藏的面。这些结构是由普林斯顿大学的一群研究生于1939年发明的。六角怪环玩起来很有趣，但更重要的是，它们展示了趣味谜题和“严肃”数学之间的联系：其中一位发明者是理查德·费曼，他后来成为本世纪最著名的理论物理学家之一。
在我开始写专栏的时候，只有少数几本关于趣味数学的书籍出版。《该类型的经典之作——W. W. 劳斯·鲍尔这位杰出的英国数学家于1892年撰写的《数学娱乐和散文》，有一个由另一位传奇人物，加拿大几何学家 H.S.M. 考克斯特 更新的版本。多佛出版社出版了比利时数论学家莫里斯·克赖奇克的《La Mathématique des Jeux》（《数学娱乐》）的法文译本。但除了一些其他的谜题集外，就差不多是这些了。从那时起，关于这个主题的书籍出现了显著的爆炸式增长，其中许多是由杰出的数学家撰写的。作者包括现在为《大众科学》撰写“数学娱乐”专栏的伊恩·斯图尔特；普林斯顿大学的约翰·H·康威；卡尔加里大学的理查德·K·盖伊；以及加州大学伯克利分校的埃尔温·R·伯利坎普。关于趣味数学的文章也越来越频繁地出现在数学期刊上。季刊《趣味数学杂志》于1968年开始出版。娱乐数学和严肃数学之间的界限是模糊的。许多专业数学家认为他们的工作是一种游戏形式，就像职业高尔夫球手或篮球明星一样。一般来说，如果数学具有非数学家可以理解和欣赏的趣味性，则被认为是趣味数学。趣味数学包括具有优雅且有时令人惊讶的解决方案的初等问题。它还包括令人费解的悖论、巧妙的游戏、令人眼花缭乱的魔术和拓扑奇观，例如莫比乌斯带和克莱因瓶。事实上，几乎每个比微积分简单的数学分支都有可以被认为是趣味数学的领域。（以下页面显示了一些有趣的例子。）
课堂上的井字棋
国家数学教师委员会出版的月刊《数学教师》经常刊登关于趣味主题的文章。然而，大多数教师仍然忽视这些材料。40年来，我一直尽力说服教育工作者，趣味数学应该纳入标准课程。它应该定期引入，作为激发年轻学生对数学奇迹兴趣的一种方式。然而，到目前为止，这方面的进展一直非常缓慢。
我经常讲一个我高中时期的故事，来说明这种困境。有一天在数学自习课上，在我完成常规作业后，我拿出一张新纸，试图解决一个让我着迷的问题：在井字棋游戏中，先手玩家在给定正确策略的情况下是否总是能赢。当我的老师看到我在乱写乱画时，她从我手中夺走了纸，说：“加德纳先生，当你在我的课堂上时，我希望你只做数学，而不是其他任何事情。”
井字棋问题将是一个极好的课堂练习。它是向学生介绍组合数学、博弈论、对称性和概率的绝佳方式。此外，这个游戏是每个学生经历的一部分：谁小时候没有玩过井字棋呢？然而，我认识的数学老师中，很少有人将此类游戏纳入他们的课程中。
根据数学教师委员会1997年的年鉴，数学教育的最新趋势被称为“新新数学”，以区别于几十年前惨败的“新数学”。最新的教学系统包括将班级分成小组，并指导小组通过合作推理解决问题。所谓的“互动学习”取代了讲课。虽然新新数学有一些积极的方面，但令我震惊的是，年鉴中没有提到趣味数学的价值，趣味数学非常适合合作解决问题。
让我向老师们提出以下实验。让每组学生想出一个三位数的数字——我们称之为ABC。然后让学生在他们的计算器中输入两次数字序列，形成数字ABCABC。例如，如果学生想到数字237，他们会输入数字237,237。告诉学生，你有超能力可以预测，如果他们将ABCABC除以13，将没有余数。这将证明是真的。现在让他们将结果除以11。同样，将没有余数。最后，让他们除以7。瞧，原始数字ABC现在在计算器的读数中。这个技巧的秘密很简单：ABCABC = ABC ≤ 1,001 = ABC ≤ 7 ≤ 11 ≤ 13。（像每个其他整数一样，1,001可以分解为一组唯一的质数。）我不知道有什么比让学生解释为什么这个技巧总是有效更好的数论和质数性质的介绍。
多连块和彭罗斯瓷砖
在《大众科学》专栏写作的25年中，最大的乐趣之一是认识了这么多真正的数学家。我本人只不过是一个热爱数学并且可以滔滔不绝地谈论数学的记者。我在大学里没有上过数学课程。随着我学到的越来越多，我的专栏变得越来越复杂，但专栏受欢迎的关键是我能够从世界上一些最优秀的数学家那里套取到的引人入胜的材料。南加州大学的所罗门·W·戈隆是最早为专栏提供素材的人之一。在1957年5月刊中，我介绍了他对多连块的研究，多连块是通过沿边缘连接相同的正方形形成的形状。由两个这样的正方形创建的骨牌——只能采取一种形状，但三连块、四连块和五连块可以呈现多种形式：L形、T形、正方形等等。戈隆的早期问题之一是确定指定的整套多连块是否能紧密地组合在一起，覆盖棋盘而不遗漏任何正方形。对多连块的研究很快发展成为趣味数学的一个蓬勃发展的分支。科幻小说作家阿瑟·C·克拉克承认，自从他开始玩弄这些看似简单的图形后，他就成了“五连块上瘾者”。
戈隆也引起了我对一类他称之为“铺砌形”的图形的关注——相同的多边形可以组合在一起形成更大的自身复制品。其中之一是斯芬克斯，一种不规则的五边形，其形状有点类似于古埃及纪念碑的形状。当四个相同的斯芬克斯以正确的方式连接在一起时，它们会形成一个更大的斯芬克斯，其形状与其组成部分相同。铺砌形的模式可以无限扩展：它们通过制作越来越大的复制品来铺砌平面。已故的皮特·海恩，丹麦著名的发明家和诗人，通过他对“数学游戏”的贡献成为了我的好朋友。在1957年7月刊中，我写了一篇关于他发明的一种拓扑游戏，名为六贯棋，该游戏在一个由六边形制成的菱形棋盘上进行。玩家将他们的标记放在六边形上，并尝试成为第一个完成从棋盘一侧到另一侧的连续链条的人。这个游戏经常被称为约翰，因为它可以在浴室地板的六边形瓷砖上玩。
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海恩还发明了索玛立方体，这是几个专栏的主题（1958年9月、1969年7月和1972年9月）。索玛立方体由七个不同的多立方体组成，多立方体是多连块的三维类似物。它们是通过在面部连接相同的立方体而创建的。多立方体可以组合在一起形成索玛立方体——至少有240种方式——以及一系列索玛形状：金字塔、浴缸、狗等等。
1970年，数学家约翰·康威——世界上公认的天才之一——来看我，问我是否有古代东方围棋游戏的棋盘。我有。然后康威演示了他现在著名的模拟游戏，名为生命游戏。他将几个计数器放在棋盘的网格上，然后根据三个简单的规则移除或添加新的计数器：每个具有两个或三个相邻计数器的计数器可以保留；每个具有一个或零个邻居或四个或更多邻居的计数器被移除；并且在每个正好与三个计数器相邻的空位上添加一个新的计数器。通过反复应用这些规则，可以创建各种各样的形式，包括一些像昆虫一样在棋盘上移动的形式。我在1970年10月刊的专栏中描述了生命游戏，它立即在计算机爱好者中风靡一时。在随后的几周里，商业公司和研究实验室几乎都关闭了，因为生命游戏爱好者在他们的计算机屏幕上试验生命游戏的形式。
康威后来与数学家同事理查德·盖伊和埃尔温·伯利坎普合作完成了我认为本世纪趣味数学的最大贡献，这是一部名为《制胜之道》（1982年）的两卷本著作。其数百颗宝石之一是一个名为 Phutball 的双人游戏，也可以在围棋棋盘上玩。Phutball 位于棋盘的中心，玩家轮流将计数器放在网格线的交点上。玩家可以通过将 Phutball 跳过计数器来移动它，计数器在被跨越之后将从棋盘上移除。游戏的目的是通过在棋盘上建立计数器链条，使 Phutball 越过对方一侧的球门线。使该游戏与众不同的是，与跳棋、象棋、围棋或六贯棋不同，Phutball 没有为每一方分配不同的游戏棋子：玩家使用相同的计数器来构建他们的链条。因此，一个 Phutball 玩家的任何举动也可以由他的对手做出。
为该专栏贡献想法的其他数学家包括弗兰克·哈拉里，他现在在新墨西哥州立大学任职，
他推广了井字棋游戏。在哈拉里在1979年4月刊中提出的游戏版本中，目标不是形成一条直线的 X 或 O；相反，玩家试图成为第一个将他们的 X 或 O 排列成指定的多连块，例如 L 形或正方形。麻省理工学院的罗纳德·L·李维斯特允许我在1977年8月刊的专栏中首次揭示他共同发明的“公钥”密码系统。它是革新密码学领域的一系列密码中的第一个。我也很高兴展示了马 Maurits C. 埃舍尔的数学艺术，它出现在1961年4月刊《大众科学》的封面上，以及罗杰·彭罗斯发现的非周期性平铺，罗杰·彭罗斯是因其在相对论和黑洞方面的工作而闻名的英国数学物理学家。
彭罗斯瓷砖是一个极好的例子，说明仅仅为了乐趣而做出的发现如何转化为意想不到的实际用途。彭罗斯设计了两种形状，“风筝”和“飞镖”，它们仅以非周期性的方式覆盖平面：模式的基本部分不会重复自身。我在1977年1月刊中解释了这一发现的重要性，该刊的封面上刊登了彭罗斯瓷砖的图案。几年后，彭罗斯平铺的三维形式成为构建以前未知的分子结构类型（称为准晶体）的基础。从那时起，物理学家撰写了数百篇关于准晶体及其独特的热学和振动特性的研究论文。虽然彭罗斯的想法最初只是一种趣味性的追求，但它为一个全新的固态物理学分支铺平了道路。
达芬奇的冲水马桶
收到最多读者来信的两个专栏是我的愚人节专栏和关于纽科姆悖论的专栏。恶作剧专栏出现在1975年4月刊中，旨在报道科学和数学领域的重大突破。惊人的发现包括对相对论的驳斥，以及达芬奇发明了冲水马桶的披露。该专栏还宣布，将兵卒移到王翼兵前4格的开局国际象棋走法是必胜的，并且 e 的 π 次方 ≤ √163 完全等于整数 262,537,412,640,768,744。令我惊讶的是，成千上万的读者未能认出该专栏是一个玩笑。随文附上的是一张复杂的地图，我说这张地图需要五种颜色才能确保没有两个相邻区域被涂成相同的颜色。数百名读者寄给我了只用四种颜色着色的地图副本，从而捍卫了四色定理。许多读者说这项任务花了几天时间。
纽科姆悖论以物理学家威廉·A·纽科姆的名字命名，他提出了这个想法，但它首先由哈佛大学哲学家罗伯特·诺齐克在一篇技术论文中描述。该悖论涉及两个封闭的盒子，A 盒和 B 盒。A 盒包含 1,000 美元。B 盒要么什么都没有，要么包含 100 万美元。您有两个选择：只拿 B 盒或两个盒子都拿。两个都拿显然似乎是更好的选择，但有一个陷阱：一个超能力存在——如果您愿意，可以称之为上帝——拥有预先知道您将如何选择的能力。如果他预测您会出于贪婪而两个盒子都拿，他会使 B 盒空着，而您只会得到 A 盒中的 1,000 美元。但如果他预测您只会拿 B 盒，他会将 100 万美元放入其中。您已经观看过其他人玩过很多次这个游戏，并且在每种情况下，当玩家选择两个盒子时，他或她都发现 B 盒是空的。并且每次玩家只选择 B 盒时，他或她都成为了百万富翁。
您应该如何选择？务实的论点是，由于您目睹了之前的游戏，您可以假设超能力存在确实有能力做出准确的预测。因此，您应该只拿 B 盒以保证您将获得 100 万美元。但是等等！超能力存在在您玩游戏之前做出他的预测，并且没有能力改变它。在您做出选择的那一刻，B 盒要么是空的，要么包含 100 万美元。如果它是空的，如果您只选择 B 盒，您将一无所获。但如果您选择两个盒子，至少您会得到 A 盒中的 1,000 美元。如果 B 盒包含 100 万美元，您将获得 100 万美元加上另外一千美元。那么，选择两个盒子怎么会亏呢？
每个论点似乎都无懈可击。然而，两者不可能都是最佳策略。诺齐克得出结论，这个悖论属于一个名为决策论的数学分支，仍然没有解决。我个人的观点是，这个悖论通过导致逻辑矛盾，证明了超能力存在预测决策能力的不可能性。我在1973年7月刊的专栏中写了关于这个悖论的文章，之后收到了很多来信，我将它们装在一个纸箱里，亲自送给了诺齐克。他在1974年3月刊的客座专栏中分析了这些信件。
幻方长期以来一直是趣味数学中受欢迎的一部分。使这些正方形神奇的是它们内部数字的排列：每列、行和对角线中的数字加起来都等于相同的和。幻方中的数字通常要求是不同的，并且按顺序排列，从一开始。仅存在一个3阶幻方，它将从一到九的数字排列在一个三乘三的网格中。（通过旋转或反射正方形所做的变体被认为是微不足道的。）相比之下，有 880 个 4 阶幻方，并且对于更高的阶数，排列的数量迅速增加。令人惊讶的是，幻六边形的情况并非如此。1963年，我在邮件中收到了一个由克利福德·W·亚当斯（一位雷丁铁路的退休办事员）设计的3阶幻六边形。我将幻六边形寄给了洛杉矶城市学院的数学家查尔斯·W·特里格，他证明了这个优雅的图案是唯一可能的3阶幻六边形——并且任何其他尺寸的幻六边形都不可能存在！
如果幻方中的数字不需要按顺序排列怎么办？如果唯一的要求是数字是不同的，则可以构造各种各样的3阶幻方。例如，存在无限多个包含不同质数的此类正方形。可以用九个不同的平方数制作一个3阶幻方吗？两年前，在《量子》杂志的一篇文章中，我为这样一个图案提供了 100 美元。到目前为止，还没有人拿出“平方的平方”——但也没有人证明其不可能。如果它存在，它的数字将是巨大的，可能超出当今最快的超级计算机的范围。这样的幻方可能没有任何实际用途。那么为什么数学家要试图找到它呢？因为它可能在那里。
神奇的矩阵博士
在我担任《大众科学》的任期内，我每年或每两年都会用一个专栏来刊登对一位我称之为欧文·约书亚·矩阵博士（请注意他的名字、中间名和姓氏的字母数提供的“666”）的数字命理学家的虚构采访。这位优秀的博士将阐述数字的不寻常特性和文字游戏的奇异形式。许多读者认为矩阵博士和他美丽的日裔女儿伊娃·寿代里是真实存在的。我记得收到一位困惑的日本读者的来信，他告诉我寿代里在日本是一个非常奇怪的姓氏。我从东京的一张地图上取的。我的线人说，在日语中，这个词的意思是“老头街”。
我遗憾的是，我从未向矩阵博士询问他对荒谬的1997年畅销书《圣经密码》的看法，该书声称在旧约圣经的希伯来字母排列中发现了对未来的预测。这本书采用了一种密码系统，会让矩阵博士感到自豪。通过有选择地将此系统应用于某些文本块，好奇的读者不仅可以在旧约圣经中找到隐藏的预测，还可以在新约圣经、《古兰经》、《华尔街日报》——甚至在《圣经密码》本身的页面中找到隐藏的预测。
我最后一次收到矩阵博士的消息时，他在香港，调查π在著名小说作品中的意外出现。例如，他引用了H. G. 威尔斯的《世界大战》第二卷第九章中的以下句子片段：“有一段时间我站在注视着……”这些单词中的字母给出了π到六位数字！
上述四个加德纳谜题的答案:
1. 大多数人猜测概率已从 1/3 上升到 1/2。毕竟，只有两张牌面朝下，其中一张必须是 A。实际上，概率仍然是 1/3。您没有选到 A 的概率仍然是 2/3，但琼斯通过展示两张未选牌中的一张不是 A，消除了部分不确定性。因此，另一张未选牌是 A 的概率为 2/3。如果琼斯给您选择将您的赌注更改为那张牌，您应该接受它（除非他当然是在袖子里藏牌）。
我在1959年10月刊的专栏中以略有不同的形式介绍了这个问题——这个问题不是涉及三张牌，而是涉及三名囚犯，其中一名囚犯已被州长赦免。1990年，玛丽莲·沃斯·萨文特，《Parade》杂志上一个受欢迎的专栏的作者，提出了同一问题的另一个版本，涉及三扇门和一辆藏在其中一扇门后的汽车。她给出了正确的答案，但收到了数千封愤怒的信——其中许多来自数学家——指责她不懂概率论！这场争吵在《纽约时报》上引发了头版报道。
2. 总和是 111。这个技巧总是有效，因为数字矩阵只不过是一个老式的加法表（下）。该表由两组数字生成：（3、1、5、2、4、0）和（25、31、13、1、7、19）。矩阵中的每个数字都是两组数字中一对数字的总和。当您选择六个圈出的数字时，您选择的六对数字共同包括所有 12 个生成数字。因此，圈出的数字之和始终等于 12 个生成数字之和。这些特殊的幻方是我1957年1月刊专栏的主题。
3. 每个单词链都以“上帝”结尾。这个答案似乎是天意，但它实际上是克鲁斯卡尔计数的结果，这是数学家马丁·克鲁斯卡尔在 1970 年代首次注意到的数学原理。当文本中的单词总数明显大于最长单词中的字母数时，任何两个任意开始的单词链都可能在关键字处相交。在那一点之后，当然，链条变得相同。随着文本的长度增加，相交的可能性也会增加。我在1978年2月刊的专栏中讨论了克鲁斯卡尔的原理。数学家约翰·艾伦·保罗斯在他的即将出版的书籍《数字童话》中将该原理应用于单词链。
4. 为了简单起见，想象一副只有 10 张牌的牌，黑牌和红牌交替排列，如下所示：黑红黑红黑红黑红黑红。将这副牌切成两半将产生两副五张牌的牌：黑红黑红黑和红黑红黑红。在洗牌开始时，一副牌的底牌是黑色，另一副牌的底牌是红色。如果红牌先落在桌子上，那么两副牌的底牌都将是黑色，因此下一张落下的牌将在桌子上创建一对黑红牌。如果黑牌先落下，那么两副牌的底牌都将是红色，因此下一张落下的牌将创建一对红黑牌。在前两张牌落下后——无论它们来自哪副牌——情况将与最初情况相同：牌堆的底牌将是不同的颜色。然后过程重复，即使有些牌粘在一起，也保证每对连续的牌中都有一张黑牌和一张红牌（下）。
这种现象被称为吉尔布雷斯原理，以其发现者，加利福尼亚魔术师诺曼·吉尔布雷斯的名字命名。我第一次在1960年8月刊的专栏中解释了它，并在1972年7月再次讨论了它。魔术师们发明了100多个基于此原理及其推广的纸牌魔术。—M.G.