娱乐计数意想不到的危险

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

我见过的最巧妙的纸牌魔术不是由魔术师表演的，而是一位数学教授表演的。

一位助教（我们称他为尼克），充当魔术师的助手，招募了五名学生参与者。每个学生从一副 52 张的纸牌中选一张，然后面朝上但汤姆教授看不到地交还给尼克。尼克将这四张牌放在汤姆面前。令我们惊讶的是，汤姆立即认出了缺少的第五张牌。

教授在课结束时揭示了诀窍。但是当我兴奋地回到宿舍时，我的室友本杰明拒绝让我解释它；他必须自己弄清楚。他喃喃自语地走回自己的房间，幸福地没有意识到在 24 小时内，这个谜题将证明对他的尊严是灾难性的。

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纸牌魔术通常依赖于欺骗或手法，但这一个完全是关于数学的。理论上，这是大学水平的数学，但它归结为我们所有人五岁时都学到的东西：计数。

虽然这个魔术旨在突出魔术师，但稍微数一下就会发现助手才是真正的明星。毕竟，尼克不仅仅是一个纸牌管家，而是一个合作者：他可以选择四张牌的顺序，向汤姆传达信息。不仅如此，他还可以选择展示五张牌中的哪四张。因此，让我们计算一下可能性：有五种方法可以选择一张秘密卡；然后，他展示的第一张牌有四个剩余的选择，下一张牌有三个选择，依此类推。这给了尼克任何五张牌的 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 种选择。

因此，艰苦的工作在于尼克，他必须战略性地选择这 120 个选项之一；汤姆只需解释他所展示的内容。这种协作安排比读心术容易得多，但说起来容易做起来难。根据“簿记员规则”（计数原则都有很好的名字），有 260 万种可能的五张牌组合。不知何故，尼克必须能够瞥一眼这些牌中的任何一张，并挑选四张牌向汤姆发送一条编码信息，告诉他第五张牌的花色和点数。尼克如何让纸牌说话？

在看过魔术后的晚上，我和一个同学在做我们的计数作业（是的，真的），这时本杰明出现在厨房里。他用他标志性的动画风格，喋喋不休地说他已经弄清楚尼克可以选择展示哪些牌，甚至为尼克设计了一个与汤姆交流的系统。“但我还没有完全弄清楚——我还有一个信息无法弄清楚如何编码！”

当我们交谈时，本杰明靠在墙上，墙上有一个大的方形垃圾桶。他逐渐沿着墙下滑，直到他放在背后的双手抓住垃圾桶的边缘。

本杰明弄清楚的是一个核心的计数原则，称为鸽笼原理。（告诉过你它们的名字很好听。）想象一个有九个鸽笼的鸽舍。如果有十只鸽子试图在里面休息，那么至少有一个笼子里有不止一只鸽子是数学上的必然。

虽然看似显而易见，但鸽笼原理导致许多非显而易见的结论。例如，我们知道有四种花色的纸牌。不可避免的是，当汤姆的观众抽出五张牌时，其中两张必须是同一花色。

应用于扑克牌花色的鸽笼原理：花色是鸽笼，纸牌是鸽子。只有四种花色，因此即使四张牌的花色不同，第五张牌也必须与其中一张花色相同。

这表明尼克可以轻松地传达隐藏牌的花色。假设五张牌包括 J♡ 和 K♡。尼克可以将 J♡ 作为隐藏牌，并将 K♡ 作为四张牌代码中的第一张，告诉汤姆秘密牌也是红桃。

但仍然缺少一个关键部分。一旦尼克拿出第一张牌，他就只剩下三张牌了。有六种排列三张牌的方法——但汤姆必须在花色中的所有十三张牌之间做出选择。根据相同的鸽笼原理，六种纸牌排列方式无法唯一地编码十三种可能性；某些排列方式必须是模棱两可的！如何将点数也塞入展示的纸牌中？

本杰明已经弄清楚了这一切。他甚至有一个基于计数的证明，证明尼克可以将他的信息有效载荷增加一倍：由于至少有两张牌花色相同，尼克可以选择展示哪一张。这给了他两倍的选择，对于第一张牌的每种可能选择，有六个选择。

但这仍然只有尼克可以发送的十二条可能的消息。但实际上，十二个刚刚好——尼克选择的花色中的一张牌将在汤姆面前面朝上！这让汤姆的猜测只有十二种可能性。尼克拥有足够的信息携带能力。

但是在这里，本杰明卡住了。说必须能够传达必要的信息是一回事；做到这一点是另一回事。本杰明只是无法弄清楚如何将这些见解转化为实际代码。

为了使这项工作起作用，我们需要一个圆圈——特别是这一个

这个圆圈的有趣之处在于，尼克始终可以确保隐藏的牌与第一张显示的牌最多相差顺时针六步。假设牌组由下面显示的五张牌组成（J♡、Q♧、9♢、Q♤ 和 K♡）。尼克必须选择先显示 J♡ 或 K♡。如果他选择 K♡，那么 J♡ 在圆上顺时针跳跃 11 步。但是，如果他显示 J♡，那么只需两步即可到达 K♡！通过战略性的选择，尼克可以给魔术师一个起始点，使真实值仅在顺时针方向的几步之内。

五张牌的示例。助手应该向魔术师展示前四张，告诉他最后一张是 K♡。© Chris Aguilar，LGPL 3.0。

剩下的就是让尼克告诉汤姆 1 到 6 之间的跳跃次数。他们通过预先商定牌组中所有纸牌的顺序来实现这一点。一种明智的选择是借鉴桥牌，其中花色按梅花、方块、红桃和黑桃（从低到高）排序，并且同一花色中的点数按二到 A 的顺序排序。在我们的示例中，9♢ 将“大于”Q♧，但小于 Q♤。使用此顺序，尼克和汤姆建立了一个代码，将纸牌序列转换为数字：小/中/大表示 1，小/大/中表示 2，依此类推。

接下来是用于将纸牌序列转换为圆上步数的完整表格。请访问此交互式页面，尝试亲自解码助手的消息。

在我们的示例中，尼克将向魔术师展示上面显示的前四张牌（J♡、Q♧、Q♤ 和 9♢）。第一张牌告诉汤姆秘密花色是红桃。因为剩余的纸牌按小/大/中的顺序排列，所以他知道秘密值是 J♡ 顺时针方向的两步。仅凭这四张牌，汤姆就可以正确猜出 K♡。

可悲的是，本杰明从未达到圆圈魔术的程度。当他悬在垃圾桶上方时，他突然受到启发，然后大喊一声“哦！”并举起了双臂。

他忽略考虑的是，他所有的重量都压在了那双胳膊上。瞬间，他的身体塌陷到垃圾桶里，胳膊和腿像倒立的乌龟一样摇摆。他来回摇晃，但无济于事：他被困住了。

当然，我的第一反应是歇斯底里地大笑并拍了一张照片。

我赶紧冲过去想帮他一把，但我喘得太厉害了，结果只是把自己弄得摔倒在地，在地上打滚大笑。最后，我那个不那么没用的作业伙伴出手了。她把那可怜的人类乌龟翻了过来，并把罐子从本杰明的屁股上拔了下来，让他得以溜走舔舐伤口。

在数学中，计数能让你走得相当远。你只需要它就可以弄清楚伦敦是否有两个人头上的头发数量相同（确实有），或者在扑克牌中拿到葫芦的概率。并且冒着听起来像伯爵的风险，这种计数不仅可以提供信息，而且令人愉快（啊-哈-哈-哈！）。

自从我上完那门课后，讲师们显然已经从讲座中删除了这个演示。毫无疑问，他们听说了他们的数学游戏给大学其他地方带来的危险。我想你必须小心计数。如果你不小心，它真的会咬你的屁股。