本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
几代人以来，几何学家已经习惯于无法看到他们所证明的定理的对象。这对于一个从欧几里得时代开始，以点、线、三角形、圆、圆锥曲线等绝妙的视觉概念为基础的学科来说，是一个有些令人悲伤的发展。但与此同时，这似乎是进步的必要代价。即使在古希腊，人们也清楚地认识到，图片可能会欺骗你，而抽象的论证（欧几里得的“定理-证明”方法）是避免犯错的最佳方法。此外，在19世纪和20世纪，几何学家们转向研究更复杂的对象：多维的曲面和空间，这些曲面和空间在我们相当有限的三维宇宙中永远无法完全可视化。
然而，在21世纪，像哥伦比亚大学的基南·克莱恩这样的数学计算机科学家正在为我们可以实际看到的曲面和曲线的研究注入新的活力。克莱恩被选为海德堡获奖者论坛的200名年轻参与者之一，他致力于微分几何中对象的计算机可视化。他的工作使他稳居这两个领域的交汇点。“我的背景实际上是计算机科学和计算机图形学，但当我尝试解决这些图形问题时，我越来越意识到我爱上了几何，”他说。
看看克莱恩的图片，很容易理解为什么。他目前的一个项目涉及通过共形映射来变形曲面。例如，假设你想把一只兔子变形为一个球体，如上面的动画所示。现实世界的物体总是会有一些表面颜色或纹理，并且从美学角度来看，最令人愉悦和最具说服力的“变形”是那些不会过多扭曲这些图案的变形。这意味着在表面的任何小块区域中，形状都会被保留。眼睛看起来仍然像眼睛，文字仍然清晰可辨，即使表面朝着它的新形状流动。这种保持形状的变换被称为共形。
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共形映射在数学和计算机可视化方面都有非常杰出的谱系。19世纪数学的一个里程碑式定理，黎曼的均匀化定理，保证了任何“拓扑”上是一个球体的曲面——换句话说，它没有边界，也没有把手——都可以共形地映射到一个球体。这个证明是用经典的数学风格完成的，即使对于数学研究生来说也是非常抽象和具有挑战性的。当我是研究生时，我的每个同学在准备资格考试时都仔细研究了这个证明。这是一种成人礼——我们被期望在考试中知道的最难的事情。（我不确定是否有人被问到关于均匀化定理的问题。很可能教师知道这个仪式，因此问我们其他的事情。）
克莱恩的算法本质上是对黎曼定理的可视化说明，它非常简单。无论你从什么样的兔子形状开始——它甚至可以是一头牛或一只章鱼——他的算法都会找到一种方法将其共形地变形为球体，而且速度很快。速度不是来自编程技巧。它来自数学原理。克莱恩找到了一种描述曲面的新方法，不是根据曲面上点的物理位置，而是根据它们的曲率。变形过程减少了曲率的威尔莫尔能量。更通俗地说，它尽可能有效地熨平任何皱纹。
虽然看到一头牛或一只兔子变成一个球体很酷，但是当您将共形流应用于带有孔或把手的曲面时，事情会变得更加有趣。第二组图片说明了数学中的一个标准笑话：“拓扑学家无法分辨咖啡杯和甜甜圈。”当咖啡杯变形为甜甜圈时，由于流的共形（保持形状）特性，写在其表面的数学方程式仍然高度清晰。
与球体不同，甜甜圈有许多不同的共形类型。19世纪的数学家发现了一种对它们进行分类的方法，这种方法很优美但高度抽象。（它被称为复结构，所以这已经让你有了一个概念……）它对于在给定的共形类中，最圆、最无皱纹的甜甜圈应该是什么样子，几乎没有提供视觉直观。但是，通过使用他的共形流，克莱恩正在发现复结构和威尔莫尔能量最小化甜甜圈的外观之间的联系。“随着复结构变得更加扭曲，环面也变得更加扭曲，”他说。
你可能会说这并不令人惊讶，甚至可能是显而易见的。但是这是像黎曼这样的19世纪数学家永远无法证明，甚至无法猜测的事情，因为他们看不到他们正在处理的东西。这是“硅时代”如何使新的数学成为可能的又一个例子。
即使您不理解它们的数学含义，克莱恩的可视化效果也只是纯粹地赏心悦目。例如，看第三张图片。它显示了在保持其缠绕数的同时变形曲线的想法。您可以想象在您沿着曲线行驶时随身携带一个指南针，并询问当您完成一个完整的循环时，指针旋转了多少次。如果您在左侧绕着复杂的鸭子形曲线行驶，则很难说。但是对于右侧的8字形，这很容易。如果您从中间开始，指针会旋转一部分，然后备份到它开始的位置。净缠绕数为零。由于8字形曲线是由鸭子曲线的平滑变形产生的，因此鸭子曲线的缠绕数也必须为零。
克莱恩说他没有计划在海德堡获奖者论坛上与特定的人见面或交谈；他只是期待结识“很多有趣的人”。尽管如此，他还是希望有机会与参加会议的获奖者之一斯里尼瓦萨·瓦拉丹见面。“我一直在做一个使用经典的瓦拉丹公式来计算测地距离的项目，事实上，我下个月将与梦工厂的一些人谈论此事，”克莱恩说。[梦工厂是出品《功夫熊猫》的电影工作室。]“我想告诉瓦拉丹我正在使用他的成果来做一些有用和实际的事情。看到一个想法从数学一路发展到你在电影屏幕上可以看到的东西很有趣。”
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这篇博客文章源于第一届海德堡获奖者论坛 (HLF) 的官方博客，该论坛于 2013 年 9 月 22 日至 27 日在德国海德堡举行。40 位阿贝尔奖、菲尔兹奖和图灵奖得主将齐聚一堂，与 200 位精选的年轻研究人员会面。达娜·麦肯齐 是 HLF 博客团队的成员。请在HLF 博客上查找他的所有帖子。