如何用数学绘图

本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点

数学可以帮助我们绘制真实物体。自然模式的规律性可以引导艺术家在艺术作品中使用数学概念。许多植物的叶子非常有趣和美丽，并且在它们的结构中可以找到一些数学模式。例如，螺旋芦荟是一种来自莱索托的植物。螺旋芦荟的叶子形成非常美丽的螺旋形。

有多种方法可以使用数学概念生成叶子形状。一个著名的例子是巴恩斯利蕨。英国数学家迈克尔·巴恩斯利（Michael Barnsley，生于1946年）在他的著作《分形无处不在》中描述了这个美丽的分形。他的分形类似于蕨类植物的叶子。他使用迭代函数系统方法创建了这个分形。

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您可能会认为下面图像中的叶子是手工绘制的。但它们实际上是计算机生成的数学图形。这些形状是使用三角函数正弦和余弦生成的。在这里，我想谈谈我用来创建这些图形的方法。

当我想绘制真实物体时，我会尝试找到一个可以生成该图形的数学公式。我使用逐步过程来找到这样的公式。在该过程的每个步骤中，我尝试通过向公式添加数学表达式来增加图形与真实物体的相似性。通常，我会搜索由正弦和余弦函数生成的表达式。这两个数学函数的属性（特别是周期性、有界性和平滑性）使它们在该过程中非常有用。实际上，我需要在每个步骤中解决找到合适的数学表达式的问题。因此，某些步骤可能非常困难甚至不可能。例如，在上面的图像中，您可以看到生成类似于日本枫树叶子的数学曲线的过程。该图显示了该过程如何将一个圆转换为图形。

这些图像显示了使用上述方法创建的三个数学曲线。它们由参数方程描述

枫叶

日本枫叶

橡树叶

此外，在下面您可以看到通过绘制数千个圆圈创建的两个数学图形。圆圈的半径和中心由三角函数确定。

橄榄枝

棕榈枝