本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
当我来到海德堡桂冠论坛时，我期待的是一场精神盛宴。我没想到会是一场视觉盛宴！看看戴安娜·戴维斯（Diana Davis）制作的这段精彩视频，该视频在菲尔兹奖得主柯蒂斯·麦克马伦（Curtis McMullen）今天的讲座中播放。
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戴维斯目前在布朗大学工作，她将这段视频提交给一个名为“用舞蹈讲述你的博士论文”的比赛，并在物理类别中获得了一等奖。（是的，为了本次比赛，数学是物理学的一个子领域。）她不仅制作了一个有趣（且幽默！）的视频，而且仅用几句话就解释了她论文中一个定理的所有主要要素。事实上，我会说通过舞蹈比通过正常的数学语言更容易理解这个定理！
请您来判断。问题是要预测台球桌上一个正五边形的台球会发生什么。特别是，您想知道如何击球，使其在经过一定次数的弹跳后返回到原来的位置。戴维斯的定理给出了这种击球动力学的完整描述。
她首先将台球桌通过放在一侧的镜子进行反射，从而创建一个非凸八边形。这样做的好处是，台球永远不会弹跳——它只是沿直线前进，直接穿过镜子所在的边。
但是当球到达一个非镜像侧时会发生什么呢？嗯，它会做吃豆人的事情——它会从平行的一侧重新出现。这对非数学家（或非吃豆人玩家）来说是一个完全让人挠头的问题，但在戴维斯的视频中得到了精美的展示。戴维斯然后考虑球依次穿过的边，并得到一个颜色或字母序列，A、B、C、D、E。那么问题就变成了：哪些序列是可能的？她展示了一个简单但很酷的简化算法，其中涉及通过剪切变换扭曲表格，将其切开，然后再次粘合在一起，以获得更简单的序列。通过这种方式，她表明，您可以将任何合法的弹跳序列简化为仅具有两种交替颜色或字母的重复序列：A、B、A、B、...
她的视频以“Q.E.D.”结尾，我认为在这里的意思是“Quod Erat Dance-andum”。（这就是要跳的舞。）
麦克马伦的演讲以优美的方式解释了这个问题如何与黎曼曲面理论中的一个问题相关。在我上一篇关于基南·克莱恩的工作的文章中，我提到环面（或甜甜圈）有不同的共形类，这些共形类由环面上称为复结构的东西描述。我没有告诉你的是，你可以对有两个或三个孔的环面做同样的事情。（后者不是甜甜圈，而是椒盐卷饼——这是一个特别恰当的话题，因为我在德国的酒店每天早上都会提供椒盐卷饼作为早餐！）
所有可能的椒盐卷饼形状是什么？嗯，有无限多种。但它们中的许多是共形等价的。事实上，伯恩哈德·黎曼在 19 世纪证明，所有椒盐卷饼的共形类的集合是 6 维的。这意味着只需要 6 个参数就可以描述任何椒盐卷饼的形状，直到共形等价。这些参数本身形成一个复杂的 6 维表面，称为泰希米勒空间，数学家们想了解它的结构。
麦克马伦展示*了泰希米勒空间包含某些特殊的椒盐卷饼族，它们形成了这个 6 维空间的一个 1 维子集。您可以将它们想象成地球仪上的子午线。这些特殊的椒盐卷饼是通过将多边形的边缘粘合在一起获得的，就像戴维斯的舞蹈是在一个边缘以特定方式粘合在一起的八边形上进行的。在这些特殊的多边形中，每个台球轨迹要么是完全周期性的（如戴维斯研究的轨道），要么是完全混乱的。因此，戴维斯的定理与理解“所有椒盐卷饼的空间”这一 150 年前的问题相关（尽管我不会说它完全解决了这个问题）！
听麦克马伦的讲座就像过了 30 年之后，我突然开窍一样。我第一次听说泰希米勒空间是在我读研究生的时候，当时我的大脑就停止了运转。它们太抽象了，我无法理解。如果我早就知道可以通过追踪一个正多边形上台球的路径来解释它们，生活会变得多么轻松！不幸的是，当时并不了解台球的联系——自 1989 年以来，通过 W.A.维奇的工作才意识到这一点。（有关更多信息，请参见此维基百科条目。）
通过维奇和戴维斯的工作以及麦克马伦的讲座，我第一次感到自己好像理解了泰希米勒空间的一些东西，这真是令人兴奋！
* 附注：对于那些不记得麦克马伦谈论椒盐卷饼的与会者，这是正确的。他实际上谈论的是两个孔环面或“属二黎曼曲面”的泰希米勒空间。但是，我认为如果他谈论三个孔的环面（椒盐卷饼）会更有趣，因为我们在椒盐卷饼的发源地德国！
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这篇博文来自第一届海德堡桂冠论坛 (HLF) 的官方博客，该论坛于 2013 年 9 月 22 日至 27 日在德国海德堡举行。40 位阿贝尔奖、菲尔兹奖和图灵奖得主将齐聚一堂，与 200 名精选的青年研究人员会面。达娜·麦肯齐是 HLF 博客团队的成员。请在HLF 博客上找到他的所有帖子。