本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
站起来。
向前直走10英尺。
左转90度。
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再走10英尺。
再次，左转90度。
第三次这样做：走路，然后左转。
现在，下次您向前走10英尺时，您将画出正方形的第四条也是最后一条边，您将回到您开始的地方。如果您第四次转90度，您的朝向也将与最初的方向相同。
这似乎是直观上显而易见的，甚至是同义反复——如果您在地面上画一个正方形，那么，您就是在地面上画一个正方形——但这实际上是一个经验事实。这很重要，所以我要大声说出来
没有先验的理由表明，走四条相等的边并转四个直角应该正好带您回到同一个地方。这纯粹是我们日常经验中的经验性事物。
事实上，从经验上来说，这也不是完全正确的。未能回到完全相同的地点——精确地闭合一个正方形——不仅仅是真实的；这是科学史上观察到的最重要的现象之一。它是万物之核心。它是引力运作的方式，是爱因斯坦理解它的方式。它告诉我们黑洞是如何形成的，以及为什么它们会捕获光线。它还告诉我们宇宙是否以及如何膨胀。
我们的直觉告诉我们，每个正方形都应该闭合。但世界远比我们的直觉让我们相信的要奇异得多。
在前一篇本系列的第一部分中，我承诺第二部分将解释宇宙平坦意味着什么。在第二部分中，我将讨论弯曲空间的概念——不，是现象——这本质上是指正方形路径无法闭合的情况，以及为什么平坦空间是所有正方形路径都闭合的地方。
欧几里得的尝试
到目前为止，我一直有意强调这种称为空间曲率现象的物理性质。大多数作者在撰写有关它的文章时都遵循非常不同的方法：他们从历史开始。
你看，数学家在任何人证明曲率与现实相关之前很久就提出了曲率的概念——作为一个逻辑上一致但抽象的概念。测量空间曲率实际上在实践中非常困难，因此，如果数学家没有告诉他们这至少是值得考虑的可能性，可能没有人会尝试。
充分理解曲率所需的数学是在19世纪中期由格奥尔格·伯恩哈德·黎曼发明的，它相当复杂。但弯曲空间是生活中的事实。原则上，您可以通过在房间里走动来发现它，而无需数学家或物理学家或哲学家首先提出抽象概念。
希腊化亚历山大的伟大几何学家欧几里得非常清楚正方形路径的闭合并非先验成立。欧几里得可能会这样说：正方形（或矩形，或平行四边形）的内角之和为360度。绕正方形走一圈意味着进行四个90度转弯。
欧几里得可能提出的另一种方式是陈述一个相关的 facts：三角形的内角之和始终为180度。沿着对角线将任何矩形切割成两个三角形，您就会明白为什么：您的四个直角被分成6个角，但总和仍然相同。
但几何学不必那样运作。当它那样运作时，它被称为欧几里得几何。但在绝大多数情况下，当它不那样运作时，它被称为非欧几何。
通常，作者介绍非欧几何概念的方式是举例说明在曲面上（例如地球表面）追踪三角形时会发生什么。
因此，从赤道上的任何一点开始，向北极前进。到达那里后，您已经覆盖了地球周长的四分之一，或大约10,000公里。现在左转90度，开始向南走。走10,000公里后，您将再次到达赤道。但您不会在您开始的地方。相反，您将在起点以西10,000公里的地方。现在左转90度，使您面向东方，再走10,000公里：您将回到您开始的地方。
您已经在地球表面追踪了一个三角形——并且内角都是直角，因此它们的总和为270度，而不是180度。
请注意，您只完成了您旅程的三条腿。如果您要遵循本文开头的说明，您仍然需要再转90度，再走完一条完整的边。在这种情况下，未能闭合正方形将相当壮观：您不会回到赤道上的原始点，而是会最终到达北极。
当然，追踪边长为10,000公里的正方形有点极端。如果您尝试用边长为1,000公里的类似的实验，误差会小得多，但仍然很明显。如果您尝试以10英尺的步幅移动，您将不会注意到任何异常：世界对您来说看起来将是完全欧几里得的。您可能会原谅自己认为地球是平坦的。
无论如何，球面是非欧几何的一个完全合理的例子，但它也可能令人困惑。“好吧，地球是弯曲的，”您说，“但这告诉我关于空间曲率的什么呢？”
“如果我挖隧道直接穿过地球，将赤道上的两点与北极的两点连接起来呢？这三条隧道将一起形成一个等边三角形。然后我可以想象用激光指向隧道下方，将这三个点相互连接成一个激光三角形。那个三角形肯定会有角度，加起来为180度。”
也许吧。但也可能不是。
外太空中的空间
所以，我们来到了本文开头我提到的基本生活事实。空间本身的曲率。
为了避免地球造成的任何困惑，去外太空旅行。您可以想象一艘宇宙飞船通过在太空中旅行来追踪三角形或正方形。但这并不理想，因为它引发了各种棘手的问题，例如宇宙飞船向前直飞或向左转90度究竟意味着什么。
相反，您和您的两个伙伴每人拥有一艘宇宙飞船，并且三个人都前往附近宇宙中的某个地方。到达那里后，你们互相发射激光，形成一个光束三角形。
现在你们每个人都可以测量进出各自宇宙飞船的两束光束之间的角度。
事实：这三个角度的总和并不总是180度。
您可以进行适当的计算，并意识到这一事实是爱因斯坦广义相对论的推论。或者您可以不信任数学和物理学，亲自去太空看看。
无论如何，这就是空间弯曲的含义。无论何时您可以在空间中找到三个点，并用激光束连接它们，并发现三角形的角度不是预期的180度，那就意味着空间是弯曲的。
当无论宇宙飞船在哪里，角度的总和都为180度时——这就是空间平坦的含义。
黎曼几何的数学机制更进一步，实际上为您提供了一种定义和计算曲率数值度量的方法——不仅仅是说是否存在曲率。
弯曲空间有两种重要的特殊类型。如果在空间的某个区域，无论您将三艘宇宙飞船放置在何处，它们形成的三个角度的总和始终大于180度，则整个区域的曲率为正。当它们总是加起来小于180度时，这意味着该区域具有负曲率。在平坦的情况下，它正好为零。
这篇文章是关于宇宙学系列文章的一部分。以下是之前的文章： （关于我所说的“宇宙”是什么意思）
（关于可视化有限的光速）
（关于大爆炸的余辉，以及为什么天空曾经是红色的）
敬请期待：我们如何知道空间曲率是生活中的事实；如果空间非常弯曲，世界会是什么样子；可观测宇宙的曲率（和大小）是多少；以及可观测宇宙与但丁有什么关系。
脚印图标由 palomaironique/Open Clip Art Library 提供。
宇宙飞船图像由 NASA 提供。艺术家印象图代表计划中的激光干涉空间天线，或 LISA，国际空间任务，实际上将是无人驾驶的。此外，LISA 的设计目的不是测量三角形的角度，而是空间探测器之间距离的暂时变化，这是由于引力波的通过——引力波本身就是空间曲率的扰动。