本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点
我上一篇专栏探讨了理论上的多元主义，这是一种哲学立场，即某些科学问题可能不是只有一个解决方案，而是可能产生许多因主观原因选择的解决方案。发表专栏几天后，我收到了数学家罗纳德·格雷厄姆的电子邮件。我自 1997 年以来就没收到他的来信了，当时我为《大众科学》写了一篇关于他的个人简介。他还为我臭名昭著的 1993 年的文章“证明之死”提供了素材，该文章报道说“困扰现代人类思想的疑虑最终感染了数学”。在他的电子邮件中，格雷厄姆告诉我，普林斯顿大学的数学家蒂莫西·周提出了一个名为“数学多元主义”的概念。格雷厄姆的电子邮件的时间纯属巧合。他没有读过我关于科学多元主义的帖子。他只是认为，考虑到我对数学哲学基础的兴趣，我可能会觉得周的观点很有趣。真是同步！我最近也一直在思考数学，因为去年春天我发现“证明之死”的批评者以我的名字命名了一个几何对象（以我的名字命名）。（请参阅延伸阅读。）当我发邮件给周，请他解释数学多元主义时，他给我发了下面的说明。周的立场暗示，数学家们和科学家们一样，永远不会收敛于一个单一的、最终真理。幸运的是！多元主义万岁！——约翰·霍根
我想谨慎地表达我的观点，因为我意识到你的“证明之死”文章（及其后续报道）引发了争议。我确实认为你提出了一些有效的观点，并且数学家有时不愿意承认数学并不像他们希望的那样完美客观、确定和毫无争议。另一方面，我确实认为任何类似“证明已死”的说法都过于耸人听闻且具有误导性。
特别是，我想说，几乎所有专业数学家都同意，形式为“定理 T 是否可从公理 A1、A2 和 A3 推导出来？”的问题具有客观的真实答案。诚然，如果某些数学家声称已经证明了定理 T，但证明很复杂，那么专家可能需要一些时间来仔细研究该证明并检查其是否正确，并且一些顽固的数学家可能会拒绝接受更广泛的社群的结论，即他们的证明是不完整的。例如，你可能知道目前关于望月新一的 ABC 猜想证明的争议。尽管如此，最终，数学家们并不满足于说：“好吧，这个所谓的证明是否正确和完整的问题只是那些永远无法解决的辩论之一，因为没有客观的事实依据。”
另一方面，当涉及到公理 A1、A2 和 A3 是否真实的问题时，我认为我们在数学中拥有（我所说的）“多元主义”。绝大多数数学家会断言，没有最大的质数、π 是无理数以及每个可微函数都是连续的，这是客观事实。然而，有些人同意“每个可微函数都是连续的”已经从标准公理中证明出来是客观真实的，但他们拒绝肯定标准公理是“真实的”，因此不认为每个可微函数都是连续的是“真实的”。另一方面，如果考虑涉及足够大的无限集的公理，你会发现大多数数学家会犹豫不决地肯定它们是“真实的”。我个人认为，数学界可能永远不会就哪些公理是“真实的”达成共识，从这个意义上说，数学界是（而且我认为在可预见的未来将保持）多元化的。
只要大家仍然达成共识，即定理 T 是否从公理 A1、A2 和 A3 推导出来是一个客观问题，这种多元主义就不会真正干扰数学作为一门学术学科的发展。为了比较，请注意，关于量子力学解释的争议并不会真正干扰物理学界的运作，因为物理学家都同意什么构成正确的量子力学计算，以及计算预测的实验观察结果是什么。——蒂莫西·周，普林斯顿
后记：我将这篇专栏文章发送给了一些数学界的熟人，他们回应了这些评论
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迈克尔·哈里斯和蒂莫西·周提醒我注意十月份美国数学学会通报上的一篇文章，该文章捍卫了多元主义。在“数学的包容性哲学”中，约翰·霍萨克指出，数学由不同的系统组成，例如，基于“不兼容”基础的标准数学、构造数学和单价数学，可以从中推导出不同的结果。霍萨克主张他所谓的“不拒绝其他变体为错误的包容态度”。他称这种哲学为“演绎多元主义”。周说霍萨克的观点与他的相似。
吉姆·霍尔特：对不起，望月是否使用了皮亚诺算术（或其保守扩展）以外的任何公理？更普遍地说，我们是否在谈论可能由哥德尔不完备性引起的“多元主义”？或者是在谈论由考虑皮亚诺算术的非保守扩展（如大基数公理或大序数上的超限归纳公理）引起的多元主义？有人对古德斯坦定理持多元主义观点吗？
我之前的印象是，集合论学家谈论的“多元主义”并未触及经典数学的任何自然领域。
斯科特·阿伦森：我同意吉姆的观点，我认为这一点很重要。
例如，在几何的欧几里德公理或非欧几里德公理之间的选择中，存在一个完全明显且毫无争议的“多元主义”。从今天的角度来看，这只是我们可能感兴趣谈论的数学对象中的多元主义。
此外，除非我们是铁杆的柏拉图主义者（如哥德尔那样），否则在集合论中存在“多元主义”，在这种意义上，存在许多有趣的 ZF 模型，其中关于超限集合的陈述（如 AC 或 CH）可以为真或为假。
但是，当涉及到数学的“普通”部分（算术、实数和复数分析、组合学等）时，哥德尔告诉我们，没有一个公理系统会蕴含所有真实的陈述，有时更强大的公理系统确实可以让我们证明我们要么不知道如何证明，要么在较弱的系统证明不了的有趣的陈述。但是，从未观察到过像集合论学家的“多元主义”这样的东西，例如，没有已知的有趣的算术宇宙，其中费马最后定理为假。
我个人认为，我会更进一步：我是一个“算术柏拉图主义者”，我理所当然地认为，例如，任何给定的图灵机客观地要么停止，要么永远运行，而无论这个或那个公理系统是否能够证明这一点。（我对于集合论的陈述不是同样的柏拉图主义者。）因此，即使存在一些有趣的替代算术公理集，证明费马最后定理为假，或者只有有限个素数，或者任何其他结论，我也会说，那些公理根本不是在谈论当我说“正整数”时我所指的同一个东西。
最后，关于望月——我这个外行人的印象是，舒尔茨和施蒂克斯揭露了人们普遍认为是致命的问题，除了围绕望月的一小圈子之外。因此，除非并且直到情况发生变化，否则推测其哲学含义可能为时过早。
延伸阅读:
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