本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
多年来，宇宙学家一直在思考我们的宇宙可能只是漂浮在无形虚空中的无数气泡中的一个。当他们说“无数”时，他们真的是这个意思。这些宇宙太难计数了。针尖上的天使与此相比算不了什么。在无限集合中没有明确的方法来计数，这可不好，因为如果你不能计数，你就不能计算概率，如果你不能计算概率，你就不能做出经验预测，如果你不能做出经验预测，你就不敢在科学家的葡萄酒和奶酪派对上直视任何人。在去年的一篇《大众科学》文章中，宇宙学家保罗·斯坦哈特认为，这种计数危机，或者说“测度问题”，是质疑预测泡泡宇宙的理论的理由。
其他宇宙学家认为他们只是需要学习如何更好地计数。今年 4 月，我参加了伦纳德·萨斯金德的讲座（上图中的剪影），他十年来一直在争论，你不需要计算所有的平行宇宙，只需要计算那些能够影响你的宇宙。忘记那些因果断开的宇宙，你也许有机会恢复你的经验主义信誉。萨斯金德说：“我认为因果结构至关重要。”他介绍了他去年与另外三位斯坦福物理学家丹尼尔·哈洛、史蒂夫·申克和道格拉斯·斯坦福一起完成的一项研究。我没有完全理解他所说的每件事，但我被他引用的一种数学方法迷住了，这种方法被称为p进数。当我开始深入研究时，我发现这些数字激发了基础物理学中的一个完整的分支，不仅涉及平行宇宙，还涉及时间箭头、暗物质以及空间和时间可能的原子本质。
如果你认为平行宇宙的整个概念一开始就注定失败，那么宇宙学家有充分的理由认为我们的宇宙只是一个庞大而功能失调的家庭中的一员。我们看到的宇宙在其最大尺度上是平滑且均匀的，但它的存在时间还不够长，无法通过任何普通过程使其均匀化。它一定是从一个更大、更古老的系统中继承了它的平滑性和均匀性，这个系统充满了暗能量，驱动空间快速膨胀并使其均匀化，这个过程被称为宇宙暴胀。暗能量还会使系统不稳定，并导致宇宙像云中的雨滴一样成核析出。瞧，我们的宇宙诞生了。
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其他气泡也在不断地成核。每个气泡都获得了自己的暗能量，并能产生新的气泡，气泡内有气泡，气泡内又有气泡，形成无尽的宇宙泡沫。甚至我们的宇宙也有一点暗能量，可以产生新的气泡。婴儿气泡之间的空间不断膨胀，使它们彼此隔离。一个气泡只与其母体接触。
这个过程产生了一个宇宙的家谱。这个树是分形的：无论你放大多少倍，它看起来都是一样的。事实上，这棵树与所有最著名的分形之一，康托集，非常相似。
在一个简化的例子中，如果你从一个单一的宇宙开始，到第N代，你就有 2N 个宇宙。你用一个二进制数来标记每个宇宙在结构中的位置。在第一个气泡成核之后，你有两个宇宙，气泡的内部和外部：0 和 1。在第一代中，宇宙 0 产生 00 和 10，宇宙 1 产生 01 和 11。然后，宇宙 00 产生 000 和 100，以此类推。
这个过程会永远持续下去，接近一个由具有无限位数的数字索引的宇宙连续体（图中顶部的红线）。有趣的是，这些数字不是像 1.414 ( 2) 或 3.1415 ( ) 这样的标准无限位数字，数学家称之为“实数”，即你在小学数轴上找到的数字。相反，它们是所谓的 2 进数，具有非常不同的数学特性。在更一般的设置中，每个宇宙可以分叉成 p 个宇宙，而不仅仅是两个，因此使用了通用术语 p 进数。
数学家在 19 世纪后期提出了 p 进数，作为除了实数之外的另一种方法，来填充整数和整数分数之间的空间，以形成一个不间断的数字块。事实上，俄罗斯数学家亚历山大·奥斯特罗夫斯基证明了 p 进数是实数的唯一替代品。
不幸的是，数学家们在正式定义、定理、引理和推论之下很好地掩盖了它的美，这些定义、定理、引理和推论点缀了每一个 ‘i’，但从未告诉你它们到底是什么意思。（我的数学家朋友也抱怨说，数学教科书读起来和软件许可协议一样乏味。）直到我听到萨斯金德用计算平行宇宙的方式来描述时，我才了解 p 进数是什么，并欣赏它们纯粹的强大之处。
p 进数与实数的区别在于距离的定义。对于它们来说，距离是血缘关系的程度：两个 p 进数之所以接近，是因为它们在家族树中有一个最近的共同祖先。在数值上，如果两个点在第N代中有一个共同的祖先，那么这些点之间的距离为 1/2N。例如，要找到数字 000 和 111 的共同祖先，你必须一直追溯到树的根部（N=0）。因此，这些数字之间的距离为 1，即多元宇宙的整个宽度。对于数字 000 和 110，最近的共同祖先是第一代（N=1），因此距离是 1/2。对于 000 和 100，距离是 1/4。
换句话说，如果有人给你两个 p 进数，你使用以下过程确定它们之间的距离。把它们排成一行，一个在另一个的上面。比较最右边的位。如果它们不同，就停止！你完成了。距离是 1。如果它们相同，则向左移动并比较下一个位。如果它们不同，就停止！距离是 1/2。继续进行，直到找到第一个不同的位。这个位，而不是其他任何位，决定了距离。
这个距离规则会扰乱你的思维。两个看起来很接近的平行宇宙可能相距很远，因为它们位于树的不同分支上。同样，两个看起来相距很远的点可能很接近。在左图所示，宇宙 “B” 比 “A” 更接近宇宙 “C”。更重要的是，数字 100 小于数字 10，因为它更靠近多元宇宙的最左侧。使用 p 进数，您可以通过在数字的左侧添加数字而不是在右侧添加数字来获得精度。因此，数学家安德鲁·里奇和本科生马修·鲍曼将它们称为“左派数字”。
p 进数可以像任何其他自尊的数字一样进行加、减、乘和除运算，但它们的左派倾向改变了规则，并使算术出乎意料地更容易。要加两个 p 进数，您从最重要的数字（在右侧）开始，然后从右向左逐个添加它们。另一方面，对于实数，您从最不重要的数字开始，并且如果您的数字具有无限位数字，例如 ，您就无能为力了。
这种怪异之处不止于此。考虑三个 p 进数。您可以将它们视为三角形的三个角。奇怪的是，三角形的至少两条边必须具有相同的长度；与实数不同，p 进数不允许您使所有边都不同。原因从树状图中可以明显看出：从一个数字到另外两个数字只有一条路径，因此最多有两个共同的祖先，因此最多有两个不同的长度。在术语中，p 进数是“超度量的”。最重要的是，距离始终是有限的。没有 p 进数无穷小，或者无限小的距离，例如你在高中微积分中看到的 dx 和 dy。在行话中，p 进数是“非阿基米德的”。数学家不得不为它们创造一种全新的微积分类型。
在多元宇宙研究之前，非阿基米德性是物理学家费心解读那些数学教科书的主要原因。理论家认为，自然界也没有无限小的距离；存在一些最小的可能距离，普朗克尺度，在这个尺度以下，引力如此强烈，以至于使整个空间概念毫无意义。处理这种粒度一直困扰着理论家。实数可以一直细分为零大小的几何点，因此它们不适合描述粒状空间；尝试将它们用于此目的往往会破坏现代物理学所基于的对称性。
理论学家认为，通过使用p进数重写他们的方程，他们可以以一种一致的方式捕捉到这种粒度，正如莫斯科斯捷克洛夫数学研究所的伊戈尔·沃洛维奇在1987年提出的观点。由此产生的动力学甚至可能解释暗物质和宇宙膨胀的机制。
很自然地，物理学家在找到了新的玩具后，立即想知道如何破坏它。萨斯坎德和他的同事们拿出了平行宇宙的树，砍掉了一些树枝，并弄清楚了它将如何变形p进数。那些被修剪掉的树枝代表了不育的婴儿宇宙：那些诞生时具有零暗能量或负密度物质的宇宙。正如修剪一棵真正的树可能看起来具有破坏性，但实际上有助于它生长一样，修剪宇宙之树会破坏其对称性，但这样做是出于好的目的：该团队认为，它可以解释为什么时间是单向的，为什么过去不同于未来。
p进数是一个案例研究，说明了数学家为了自身的美丽而发明的概念，可能会与现实世界产生某种联系。更棒的是，它们可能比实数更真实。
照片由Gary Smaby提供。气泡图由George Musser提供。树形图由斯坦福大学的Daniel Harlow提供。