本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定反映《大众科学》的观点。
英国奇幻作家皮尔斯·安东尼的“模式”系列小说的粉丝可能还记得，第二本书《分形模式》讲述了一个奇异的世界，这个世界完美地呈现了著名的（至少对数学家而言）曼德博集合的三维模型——这是一个令人惊叹的几何形状，当你采用一个特定的方程式并将其应用于一个数字，然后再应用于结果，然后再应用于之后的每个结果，无限循环时，就会得到这个形状。
我之前写过关于混沌和分形模式的文章，最著名的是在画家杰克逊·波洛克的作品中。“混沌”——这个词通常表示完全的随机性——在数学和科学的背景下有不同的含义。它适用于那些表面上看起来是随机的系统；在表面之下隐藏着秩序。例如，股票市场就是一个混沌系统：一个轻微的波动可能会被放大许多倍，直到系统“达到临界点”并导致市场崩溃。这就是所谓的“蝴蝶效应”：巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，空气扰动随着时间和距离的推移而放大，最终在得克萨斯州引发龙卷风。
分形模式是混沌理论的数学后代，是混沌运动的残余——例如，飓风过后散落的残骸。这有点像已灭绝的恐龙留下的化石足迹：这些模式是混沌系统运动留下的。
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分形之所以如此不寻常——并且如此具有视觉吸引力，因此非常受欢迎——是因为这样的图像表面上看起来可能是随意拼凑的，但仔细观察你会发现，实际上，存在一个在不同尺寸尺度上重复数千次的单一几何图案，就像那些嵌套的俄罗斯套娃一样。这种明显的模式被称为“自相似性”。
曼德博集合以已故数学家本华·曼德博的名字命名，他通常被称为“分形之父”，尽管他当然不是唯一开发分形的人。甚至这个以他的名字命名的集合实际上可以追溯到20世纪初皮埃尔·法图和加斯顿·朱利亚的工作。
曼德博在1980年于IBM的T.J.沃森研究中心首次看到了该集合的可视化图像。他绝对值得因普及曼德博集合而获得赞誉，使其成为最容易识别的分形形状之一。
这也是一个极好的例子，说明了复杂的精细模式如何从一些简单的规则中产生（在本例中，是单个方程的迭代应用）。无论你将生成的图像“放大”多少次，你仍然会看到那些相同的精致细节在越来越小的尺寸尺度上重复出现。
但是当你从二维变成三维时会发生什么？你会得到一个“曼德博球”。上周末，当我偶然看到这个令人惊叹的计算机动画时，我想起了这一点，这个动画展示了一个曼德博球模拟250,000,000个粒子的运动。
实际上，将二维曼德博集合转化为三维并非易事。数学家和科幻作家鲁迪·拉克——赛博朋克的创始人之一——在二十年前就推测了这种可能性，甚至在1987年写了一篇基于这个概念的短篇小说（《如上，如是》）。（你可以在这里阅读。）但当时的计算机处理能力还无法胜任这项任务；首先，它需要数十亿次的计算。
这并不是因为缺乏尝试。例如，人们尝试旋转二维分形图像，或在更高维度上玩弄数学技巧。但根据英国业余分形爱好者丹尼尔·怀特的说法，这些方法都没有产生“真正的”分形，他对这项挑战非常着迷。
他没有依赖复杂的数学，而是从几何角度来解决这个问题。有很多方法可以做到这一点，但两种可能性包括将最初的平面二维平面扩展到一个盒子或一个球体，然后在新的三维空间中执行相同的迭代过程。
怀特在2007年提出了一个基本方程，几乎完成了这项工作。直到2009年，怀特和他的同好保罗·尼兰德成功合作，才产生了第一个曼德博球。尼兰德意识到他可以将怀特的方程提高到更高的幂来产生曼德博球。
尽管如此，他们最终得到的图像也不是完全真正的3D分形。“仍然有‘鲜奶油’部分，那里没有细节，”怀特在2009年告诉《新科学家》。“如果真实的东西确实存在——我不是百分之百肯定它存在——人们会期望看到比我们目前看到的更多的多样性。”
无论是否是真正的分形，曼德博球都是一个真正美丽的几何形状。