本文发表在《大众科学》的前博客网络中，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
如果您碰巧住在英国，马特·帕克——在推特上又名@StandUpMaths——可能无需介绍。他是一位来自澳大利亚的前数学老师，现已移居伦敦，他将自己对数学的热爱与单口喜剧相结合。帕克是广受欢迎的BBC Radio4节目《无限猴子笼》（由物理学家布莱恩·考克斯和罗宾·因斯主持）的常客，此外，他还曾在爱丁堡艺穗节上售罄喜剧表演，并且多年来还出现在无数其他媒体场所。
现在，他成为了一本很棒的新书的作者，《在四维空间中制作和做的事情》。这本书本周在美国发行，书中他带领读者进行一次神奇的数学之旅，并提供有关如何最快系鞋带、如何用多米诺骨牌制作一台可工作的计算机以及如何公平地切披萨的技巧——我相信您会同意，这些都是有用的生活技能。珍·露西·皮坎特在帕克旋风式的美国书巡回宣传期间通过Skype与他聊天，聊了关于向大众传达抽象数学概念的挑战，针织图案和乐谱与数学的共同点，以及他对克里斯托弗·诺兰的科幻大片《星际穿越》中超立方体场景的看法。
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JLP：您的书是清晰解释、动手活动和引人入胜的历史轶事的有趣组合。出于好奇——因为我们在这里的鸡尾酒会上是科学历史爱好者——您最喜欢的历史数学家是谁？
MP：我想找到那些不太为人所知但却做了惊人事情的数学家。我在书中谈了很多关于爱德华·卢卡斯的内容。一方面，他是一位了不起的数学家，另一方面，他是一位出色的沟通者。没有他，我们就不会知道斐波那契数列。斐波那契数了一些兔子，就从历史上消失了，而卢卡斯后来注意到了这一点，并将其推广并命名为斐波那契数。加密是基于素数的。
我最喜欢的故事是我在写书时发现的。我不会说法语，而且我找不到卢卡斯数学书的英文翻译，但是图表是一样的。如果我看到一个图表，我就知道他在做什么。我看到一个，即使我只会简单的法语，我也意识到卢卡斯在谈论电子计算机。那是在 1800 年代。我将那段文字翻译了过来，卢卡斯在谈论查尔斯·巴贝奇和艾达·洛夫莱斯所做的事情，他们在理论上提出了计算机在有可能制造它们之前如何工作。他甚至将它们与如何用电子产品制造它们联系起来。我不知道还有其他人说过：“嘿，我们可以用电路制造这些东西。” 遗憾的是，他没能活着看到这一切发生。
JLP：对于书中一些动手活动，您借鉴了您在魔术和纸牌戏法方面的背景，其中许多您在公开场合和单口相声表演中使用过。这背后的想法是什么？
MP：这源于不得不教青少年数学。数学的问题之一是它可能非常枯燥，非常容易。数学老师必须是有创造力的人，因为你必须找到一种方法来使非常枯燥的科目变得生动起来。你可以用数学做各种奇妙的事情，但是我们被迫学习重复的技能，然后我们从不让它们在场上发挥作用。如果你想激励青少年学习一些东西，你必须给他/她一个非常好的理由。通常我们威胁他们：有一天你需要抵押贷款或者需要通过考试。但是，如果你能立即向他们展示一些他们可以使用的东西，他们就会更有热情。如果一个青少年认为通过学习一些数学他们可以做一个纸牌戏法来惹恼他们的朋友和家人，他们会突然说：“是的，我们要学习这个。”
大量的魔术师都是隐藏的数学爱好者。他们故意隐藏他们的数学技巧，因为这是魔术的整个文化：你找到一种方法使它看起来尽可能不数学化。我做相反的事情，展示幕后发生的数学。但是我（没有透露精心保守的秘密）很小心。我谈论的一切都已经公开了。
JLP：你提到重复，这很有趣。我小时候上过钢琴课，我学的第一件事就是练习音阶。我尽职尽责地练习，但是直到我听到肖邦错综复杂的半音音阶，音乐才真正生动起来。这让我想要更加努力地练习，以便有一天我能尝试弹奏肖邦。
MP：人们将数学与乐谱进行了比较，因为如果你从未听过音乐，而你所见过的只是乐谱，人们在写下音符，它看起来像是毫无意义的符号操作。人们可能会说：“哦，但是看看这些模式，它们太美了”，但是如果你没有听过音乐，你会认为：“这些人疯了。” 数学也是如此。它背后有这种惊人的美，但是没有听它的等效物，所以对于非数学家来说，它只是毫无意义的符号。我（在这本书中）想做的一部分是让人们了解为什么数学家会对所有这些符号感到如此兴奋。在它们背后存在着逻辑和意想不到的联系。
我妈妈织毛衣。她给我织了一些数学物体，包括一顶帽子（在书中描绘）。我看着她计算针织图案，我突然意识到与非数学家交谈的数学家是什么感觉。我想：“你可以写任何东西，它只是随机符号，这没有任何意义！” 但是她全神贯注并对这一切如何组合在一起感到兴奋；她可以想象它。当我最终看到帽子时，我对她所做的事情有了一些了解。这就是我试图在这本书中用数学做的事情。我正在尝试向人们展示这顶帽子。
JLP：我注意到你在书中使用了几个双曲钩编的例子。这也是一种理解抽象拓扑概念的流行方法，例如，形象研究所倡导的。
MP：钩编是展示双曲面的最佳方式，甚至比昂贵的 3D 打印更好。对于双曲面，你沿它走得越远，获得的表面积就越大。但是，如果将任何一个局部位展平，你只是将皱纹推到其他地方。通过钩编，你可以做到这一点（真的）。你可以将其拿起并展平一位，其余部分则聚集在其他地方。
JLP：你在后面的章节中更深入地探讨了高维形状。你如何应对可视化高维形状的挑战？
MP：任何超过五维的空间，你都不再对高维空间有任何直观的理解。数学家和我们一样迷茫。这不像他们可以可视化一个 6D 的形状，然后想象将其插入一个 7D 的形状。我想表达的是，数学家是享受困难的人。他们喜欢你无法真正可视化这些对象的事实，但是如果你非常小心和细致地对待数学，你仍然可以理解和操作它们，并研究它们的行为。他们只是乐于面对困难。
我故意在本书的较早部分放置了一个关于图论和网络的章节。当你不再能可视化形状时，你剩下的只是角或顶点连接的方式。你可以将其绘制为网络。因此，即使你无法想象它将如何弹出到更高的维度，你仍然可以看到其所有角落粘在一起的网络，并且你可以惊叹于结构的优美以及所有图案。但是，它们永远不会讲述完整的故事。你看到的只是惊鸿一瞥，这些惊人形状的特定角度。我们可以在一个平面页面上放置一点点。
JLP：最后，我们必须谈谈《星际穿越》中的超立方体。当然，人们对电影中的物理学有很多挑剔，但我认为这是一个有趣的可视化描述，它对于我们大多数人来说都很难可视化。
MP：我嫁给了一位物理学家，我认为她对物理学的恼火程度比我高。我看过更糟糕的。我认为他们将时间表示为空间维度非常好。与往常一样，你可以想象低维的事物。如果你有一个立方体，并且你想将其展示给一个平面上的人，你可以做的一件事是将它切成正方形，然后将它们彼此相邻放置——有点像黄油一样将立方体涂抹成一个非常长的矩形，从而有效地制作立方体的切片。
（这部电影）将立方体一个接一个地堆叠起来，以显示时间的这种涂抹。这实际上是一种很好的将时间可视化为维度的方式，尽管我更喜欢我的第四维度是空间的。第五维度是否是爱仍然是非常开放的数学研究领域。
有关如何可视化更高维度的更多信息，请查看下面的摘录！
可视化高维球体
好的，那么什么是高维球体？从表面上看，它可能很简单：球体是所有距固定中心点一定距离（半径）的点。圆是 2D 球体。球体是 3D 球体。（好吧，那很明显。）4D 球体是所有距中心相同距离的点，依此类推。不幸的是，这些球体比你预期的要滑得多。这就是为什么出于安全原因，我们需要将它们锁定在超立方体中，以防止它们逃脱。我们将超立方体的其余部分填充填充球体，以使我们关注的焦点球体无法在其盒子内移动。
所有这些控制超球体的预防措施似乎不成比例。好吧，让我们弄清楚它们是否如此。
我们将从 2D 开始，然后逐步向上。我们的 2D 立方体是一个正方形，我将使用一个边长为 4 个单位的正方形。这是因为它可以整齐地放入四个半径为 1 个单位的圆。每个这些圆的中心将从两个边缘的四分之一处开始。
现在，我们将小心地将我们的样本圆（一个 2D 球体）放在这个装满其他圆的盒子的正中间。与保持固定半径为 1 的填充圆不同，我们将让中间圆膨胀到盒子中间允许的空间一样大。
我们现在可以精确计算出中间圆的大小。边长为 4 的正方形是有道理的，因为它意味着每个填充圆的中心到正方形中心的距离可以很容易地用勾股定理计算出来。对于我们的 2D 正方形，这个对角线长度为 2 ≈ 1.414；其中第一个 1 被填充圆占用，所以我们的中间圆的半径最大只能达到 0.414，之后它就会与填充圆接触。它不是一个很大的圆，但至少我们确切地知道它有多大，它在哪里以及是什么包含着它。
我们可以将八个填充球放入 4 × 4 × 4 的 3D 立方体中。随着我们维度升高，单位球的数量将翻倍，并且它们将始终位于距离所有相邻边缘一个单位的位置，以便它们恰好接触这些边缘。每个填充球的中心到立方体中心的对角线长度为 3 ≈ 1.732，这使得我们的样本球可以扩展到半径 0.732：这不是很大的飞跃。
可以理解的是，由于这个球有更多的移动方向，它可以稍微变大一些。然而，随着我们维度升高，我们添加越来越多的填充球来保持样本球/超球等被困住，所以它肯定无法逃脱。它的增长应该会逐渐减缓。
然而，正如您可能已经猜到的那样，中心球不会安分守己：不知何故，它会逃脱，即使根据定义，它仍将保持在立方体中间居中，并被其他球体固定在原位。检查 4D 的数字表明，一切都与 4 × 4 × 4 × 4 的四维超立方体对齐，具有 16 个填充单位球。每个填充的 4 维球体的中心到 4D 立方体中心的距离是一个非常精确和整洁的 2（即 4 ），这使得我们的中心样本球的半径为 1。看来四维给了它足够的自由来扩展到与周围的填充球相同的大小。
接下来是五维，事情开始变得有点奇怪：我们的样本球持续增长，现在半径为 1.236，比周围的填充球更大（从现在开始，我将只称它为球，无论它在多少维空间中）。当我们处于 2D 时，中间最初的小间隙现在在 5D 中变成了一个巨大的鸿沟。最初，我们预计中间样本球会随着维度的增加而稍微变大，但这种 331 的扩展最终会迅速减缓。事实并非如此。随着维度的增加，我们的中心样本球以惊人的速度持续变大。
最大的惊喜是当立方体进入十维空间时，内球的半径达到 2.162，这意味着它实际上已经延伸到了立方体之外。这个球不仅设法在周围填充球的阻碍下扩张，现在它已经完全逃出了立方体。在九维空间中，它设法刚好接触到立方体，半径为 2，然后，对于超过该维度的任何维度空间，它都会从超立方体的侧面伸出来。从 26 维开始，球的大小是其内部立方体的两倍以上。而且它没有放慢速度的迹象。随着维度的增加，这个中心球的大小不会收敛：它会继续向远处发散。
数字不会说谎，但我们仍然需要解释球体如何延伸到立方体之外。立方体的形状没有改变——它在所有方向上始终是 4 个单位长。重要的是，其他球体的半径固定为 1。我们不允许它们尽可能地扩张；我们只是将它们都安排好，使它们接触到立方体的外壁以及它们旁边的其他球体。随着维度的增加，这些填充球之间的间隙变得更大，而中心球不知何故会长出尖刺，这些尖刺可以通过这些间隙伸出立方体之外。是数学家科林·赖特首先给我出了这个谜题，用他的话说，最好把高维球体想象成带刺的。似乎这些球体覆盖着多维的刚毛。这是我没有预料到的。
节选自马特·帕克著的《在四维空间中制作和做的事情》，将于 2014 年 12 月由 Farrar, Straus and Giroux, LLC 出版。版权所有 © 2014 马特·帕克。保留所有权利。经许可使用。