本文发表于《大众科学》的前博客网络，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点。
当 威廉·施密特 (William Schmidt)，密歇根州立大学的数学教育专家，将他的家人从东兰辛搬到弗吉尼亚州夏洛茨维尔进行为期一年的研究休假时，他的工作发生了个人的转变。他注意到，他的女儿们将在夏洛茨维尔郊外就读的公立学校在学术上落后于她们在密歇根州就读的学校。在老家，他二年级的女儿会学习到 5 的乘法表，但在夏洛茨维尔，乘法甚至不是当地学校二年级课程的一部分。
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他女儿的经历，正如他在下面摘录的新书中解释的那样，并非个例。“[美国] 学校教育系统代表着一场机会游戏，很少有人意识到这场游戏正在进行，” 他在与柯蒂斯·C·麦克奈特 (Curtis C. McKnight) 合著的《人人平等：美国学校机会不均的挑战》一书中写道。他们写道，不平等对每个孩子都构成风险，无论其社会经济背景或种族如何。这些不平等源于州教育标准、学校资金、学区选择采用的课程以及个别课堂教师选择教授的内容的差异。在本节选段中，施密特和麦克奈特关注数学教师培训方式的差异以及这种差异如何反过来影响学生的学业成绩。
以下内容摘自 威廉·H·施密特 (William H. Schmidt) 和 柯蒂斯·C·麦克奈特 (Curtis C. McKnight) 合著的《人人平等：美国学校机会不均的挑战》（教师学院出版社，2012 年）。
关于学校，我们大多数人记忆最深刻的事情之一是我们的老师。因此，当针对批评性报告或令人失望的考试结果提出改革美国学校的解决方案时，教师总是首当其冲被挑出来。提议通常首先转向通过关注更高质量来改善师资队伍。例如，在 NCLB [不让一个孩子掉队] 时代，人们非常重视“高素质”的师资队伍。
各学区必须证明其教师中高素质教师的百分比。但是，州和学区自行定义他们认为的“高素质”，从而导致很大的歧义。
成为一名高素质教师意味着什么？高质量数学教师的定义从未标准化。因此，尽管当我们寻求改进学校时，提高教师和教学质量是一种常见的呼声，但对于定义高质量数学教师的特征是什么，几乎没有共识，也没有多少经验证据表明。即使是一个显而易见的定义，例如数学知识，也是有问题的，因为对于需要哪些具体的数学知识，通常没有共识。
文献确定了两种与提供学习机会明显相关的知识类型：数学内容知识和教学内容知识。对于数学，最近的实证研究增进了我们对教授数学所需的数学知识的理解。本章的其余部分阐述了这种知识——特别是数学内容知识——如何与内容覆盖范围的不平等相关，并提供了关于教师内容知识的抽样数据。
教师们告诉我们关于他们的数学知识
我们间接地探讨了教师对特定数学内容的知识问题，通过询问来自 PROM/SE 项目 [促进数学和科学教育的严格成果] 的 4000 多名教师样本，让他们回答问题：“您觉得自己在学术上为教授以下每个主题做好了多少准备——也就是说，您觉得自己拥有必要的学科课程和理解？” 我们针对多个数学主题提出了这个问题。主题列表因小学教师和中小学教师而异。
通过依赖教师关于自身准备充分程度的报告，我们只能间接地了解他们的知识。幸运的是，这种方法足以证明教师在特定内容知识方面的差异有多大，或者至少在他们对准备充分程度的感受方面的差异有多大。此外，结果的坦率性表明了一定程度的表面效度和回应的完整性。回应的总体基调与其他关于该问题的数据非常一致，其中一些数据表明，此处报告的模式可能是最佳情况。本章报告的所有结果均基于 PROM/SE 数据。
小学教师（1 至 3 年级）
小学教师觉得自己在学术上只准备好教授他们教给学生的主题。即使对于这些主题，接受调查的教师中约有四分之一到一半的人表示，他们觉得自己没有做好充分的准备。我们调查的教师来自密歇根州和俄亥俄州的 60 个 PROM/SE 学区。
教师只关注他们将要教授的主题是否合理？尽管这种立场可能看起来合理，但教师觉得自己没有做好充分准备的许多更高级的主题提供了必要的数学背景，以便真正为教授他们年级的更基础的主题做好充分准备。为了定义合格的师资队伍，我们采用了 75% 的教师觉得为教授给定主题做好了充分准备的标准。我们发现，在所有抽样的教师中，只有两个数学主题符合此标准：整数的含义，包括位值和整数运算。
几乎所有的几何主题（除了基础知识）都被 75% 的标准排除在外。所有比例主题和所有代数主题也是如此。这些结果表明，围绕 1 至 3 年级教授的许多数学主题的学习机会质量不太可能很高。它们还表明，自我报告的特定内容知识存在很大差异。对于许多这些主题，只有勉强过半的 50% 到 60% 的教师觉得自己准备充分。
结果的另一个显著特点是各学区之间的巨大差异。例如，对于分数，在一些学区，所有的小学教师都觉得自己准备非常充分，而在另一些学区，只有大约一半的教师觉得自己准备非常充分。对于几何基础知识（直线、角等），结果从一个学区只有约四分之一的教师觉得自己准备充分，到另一个学区约 90% 的教师觉得自己准备充分不等。
高年级小学教师（4 至 5 年级）
4 年级和 5 年级教师学区的结果截然不同。例如，对于八个不同的主题，至少在一个学区的所有教师都觉得自己为每个主题在学术上做好了非常充分的准备。
在学区层面，整数含义和运算的结果与 1 至 3 年级教师的结果相似。此外，分数的中间值也在 75% 左右。
然而，对于 4 年级和 5 年级教师，特别是对于小数、百分比和几何基础知识，各学区之间的差异仍然是一个显著特点。这些都是应该在密歇根州和俄亥俄州这些年级引入的主题。例如，对于小数，在一个学区，只有四分之一的教师觉得自己准备充分，而在另一个学区，几乎所有教师都表示他们觉得自己为教授小数做好了充分的准备。
初中教师（6 至 8 年级）
我们考察了所有学区的教师群体。从这个角度来看，没有至少 75% 的教师觉得自己为教授做好充分准备的主题。只有两个主题接近这个比例。在全体教师中，73% 的教师表示，他们觉得自己为教授坐标和直线主题做好了充分的准备。69% 的教师表示，他们觉得自己为教授数据主题做好了充分的准备。
如果我们将标准放宽到至少 50% 的教师觉得准备充分的主题，则有 11 个主题符合条件。这包括刚才提到的两个主题以及其他九个主题——负数、有理数和实数；指数、根和根式；数论；多边形和圆；全等和相似；比例问题；模式和关系；表达式和简单方程；以及线性等式和不等式。《密歇根州和俄亥俄州标准》要求在初中阶段包含许多这些主题。只有大约 50% 到 60% 的教师觉得自己为教授这些主题做好了充分的准备，这一事实表明了学区面临的问题的严重性。
例如，全国范围内兴起了一股强劲的运动，旨在将初等代数主题纳入初中，特别是在 8 年级。《密歇根州和俄亥俄州标准》反映了这一点，《共同核心州立标准》也是如此，后者正在成为新的《密歇根州和俄亥俄州州立标准》。采用《共同核心州立标准》使各州更符合国际基准，即初中阶段的预期水平。
这些学区乃至整个美国面临的问题的严重性体现在，只有大约一半的教师觉得自己为教授表达式和简单方程以及线性等式和不等式在学术上做好了非常充分的准备。甚至更少的教师（只有大约 25% 到 40%）觉得自己拥有足够的学科知识来教授其他重要的代数概念，包括比例（41% 的教师）、斜率（38%）和函数（39%）。
高中教师
对于高中教师而言，情况则大相径庭，考虑到他们通常在数学方面有更充分的准备，这并不意外。几乎 60% 的主题符合标准，即来自 60 个学区的 PROM/SE 教师群体中至少有 75% 的教师表示，他们在学术上做好了充分的准备。高中教师表示他们觉得自己准备不足的领域是数基、三维几何、几何变换、对数和三角函数、概率和微积分。然而，这些发现仍然令人担忧。例如，正如《共同核心州立标准》中所发现的那样，人们越来越强烈地推动将概率和统计学纳入高中课程，但只有不到一半的接受调查的数学教师觉得自己为教授该课程做好了充分的准备。教师对自己准备情况的自我认知似乎很可能高估了他们所知道的以及他们准备得有多充分，而不是低估。
从所有 60 个学区的教师群体转向大量主题（16 个）的按学区划分的结果，至少 25% 的学区的所有高中教师都表示，他们觉得自己为教授这些主题做好了充分的准备。然而，各学区之间仍然存在很大差异，特别是对于几何主题，包括变换、三维几何、多边形和圆。在教师认为自己有课程可以让他们为应对微积分、概率、数论以及对数和三角函数做好充分准备的百分比方面，也存在类似的巨大差异。
为什么教师感到如此准备不足
我们调查了在学科课程方面，各个级别的教师为教授各个数学主题做好了多少准备，样本是具有相当代表性的 60 个学区。总的来说，我们将调查结果总结为：许多教师觉得自己没有做好充分的准备来教授州标准和新的《共同核心州立标准》中规定的数学主题。为什么这些教师会感到如此准备不足？
对于中小学教师来说，或许有一个简单的答案：他们感到准备不足，是因为如果我们考察他们在教师培训期间学习的课程，他们确实准备不足。新的 TEDS 研究结果表明，更普遍的情况也是如此，这显然不利于这些学区学生的学习经历的平等。
大学水平的准备
在本节中，我们总结教师们告诉我们的关于他们在大学水平和研究生阶段的数学准备情况。
在 1 至 4 年级，只有不到 10% 的教师拥有数学专业或辅修专业。这个级别的教师通常是通才——他们必须准备好教授许多不同的学科领域。他们没有足够的时间在准备阶段获得每个学科领域的专业或辅修专业。
在 4 年级，国际数据描绘了不同的景象。不幸的是，定义并不完全相同，但数据确实为我们提供了一个基准。包括那些拥有数学专业或数学或科学辅修专业的小学教师在内，在参加 TIMSS [国际数学和科学趋势研究] 的国家，平均约有三分之一的 4 年级学生有这样的老师。
从 TIMSS 数据中提取此估计值作为拥有数学或科学专业或辅修专业的教师百分比的指标，这个比例远高于 PROM/SE 4 年级教师，后者的可比百分比为 5%。在新加坡和俄罗斯，这一百分比超过 50%。这表明，从国际角度来看，其他国家通常拥有大约六倍于拥有数学或相关科学领域专业的小学教师。
当我们转向初中数学课程以及那里提供的高级数学时，结果甚至更令人不安。
在 PROM/SE 样本中，四分之三的初中教师没有数学专业。在 6 年级，这个百分比与小学教师非常相似——只有大约 10% 的教师拥有数学专业或辅修专业。在 7 年级和 8 年级，这个百分比增加到大约 35% 到 40%。
这些数字表明，很大一部分初中生正在接受数学背景薄弱的教师教授的越来越复杂的数学，正如《密歇根州和俄亥俄州州立标准》所要求的那样。这些结果为解释为什么这么多初中教师觉得自己没有为教授上一节中讨论的许多初中主题做好充分的准备提供了一种解释。这也预示着实施方面的问题，至少在密歇根州和俄亥俄州实施新采用的《共同核心州立标准》时是如此。
那么高中数学教师呢？我们期望所有高中数学教师至少拥有数学辅修专业，如果不是专业的话。但高中的实际结果却非常令人惊讶。接受调查的所有高中数学教师中，不到一半拥有数学专业。几乎三分之一的教师既没有数学专业也没有数学辅修专业。
这些数字在接受调查的教师所教的高中四年级中各不相同。主要教学职责在 9 年级或 10 年级的教师中，几乎有一半没有任何数学专业。在 11 年级和 12 年级，主要在这些年级任教的教师中，超过 71% 的教师拥有某种数学专业。
为了避免让人过于欣慰地认为，教授最 advanced 课程（通常在 11 年级和 12 年级学习）的教师在数学方面准备得更好，我们需要考虑几个注意事项。在通常在 9 年级和 10 年级教授的入门级课程中，拥有准备充分的教师可能更为重要。这些课程是更 advanced 课程的基础，可能更难教授，并且在为学生进一步学习做准备方面同样重要。但是对于这些基础课程，教师的学科知识并没有那么扎实。值得注意的是，在一些更 advanced 的数学主题（数论、几何变换、对数和三角函数以及微积分）中，高达一半的教师觉得自己没有为教授它们做好充分的准备。或许这 50% 的教师正是那些没有数学专业的教师。
数学知识
PROM/SE 项目的一个关键部分是为教师规划和开展基于内容的capacity building。作为该组成部分的一部分，我们对教师样本进行了一项数学知识测试。[结果] 强烈表明，中小学教师准确地认识到自己的弱点并如实报告。他们似乎在报告说，他们在学术上没有做好充分的准备来教授他们被要求教授的数学内容。
在各个年级，没有数学专业或辅修专业的教师百分比从 1 年级的几乎所有教师到 8 年级的大约一半教师不等。与教授相应年级的数学专业教师相比，这些教师只能正确回答大约一半的项目。拥有数学专业的教师能够正确回答大约 70% 的相同项目。这近 20% 的差距是相当大的，而且非常重要。这证实了教师告诉我们的，他们没有做好充分的准备。
高中的问题更多的是差异性问题。数据表明，大多数教师拥有数学专业，并且他们的数学知识相当不错。然而，大约三分之一的教师仍然没有扎实的学术准备。
教师数学知识对学习机会的影响
鉴于这些关于教师数学知识的结果，人们很容易责怪中小学教师没有做好准备，但我们认为责怪教师是错误的。为什么？因为教师根据对其进行认证的州以及培训他们的教师培训计划制定的标准和指南来准备自己。我们在此要指出的是，学术内容知识的这种差异很可能会影响内容覆盖的质量。由于先前描述的内容覆盖范围差异很大，因此这些数据表明了这种差异的一个可能原因，因为这种知识的缺乏很可能不仅会影响特定主题覆盖范围的质量，还会影响教师如何选择要覆盖的主题、覆盖时间（深度）以及覆盖顺序的更大格局。这种
知识的缺乏进一步加剧了数学内容覆盖范围在课堂、学校和学区之间的差异，从而导致学习机会进一步不平等。
经出版商许可使用。摘自施密特和麦克奈特合著的《人人平等：美国学校机会不均的挑战》，纽约：教师学院出版社，© 2012 年哥伦比亚大学教师学院。保留所有权利。