库尔特·哥德尔的不完备性定理证明，数学包含无法证明的真命题。他的证明通过构建自相矛盾的数学陈述来实现这一点。为了了解证明是如何运作的，首先考虑一下说谎者悖论：“这句话是假的。” 这句话当且仅当它是假的时才为真，因此它既不是真也不是假。
现在让我们考虑“这句话是不可证明的。” 如果它是可证明的，那么我们就证明了一个谬论，这是非常令人不快的，并且通常被认为是不可接受的。剩下的唯一选择是这句话是不可证明的。因此，它实际上既是真的又是不可证明的。我们的推理系统是不完备的，因为有些真理是不可证明的。
哥德尔的证明为每个可能的数学陈述分配一个所谓的哥德尔数。这些数字提供了一种通过谈论非常大的整数的数值属性来谈论陈述属性的方法。哥德尔使用他的数字来构建类似于朴素英语悖论“这句话是不可证明的”的自指陈述。
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严格来说，他的证明并没有表明数学是不完备的。更准确地说，它表明个别的形式公理化数学理论无法证明真实的数值陈述“这句话是不可证明的”。因此，这些理论不能成为数学的“万物理论”。
哥德尔留下的关键未解问题：这是一个孤立的现象，还是有许多重要的数学真理是不可证明的？