在一岁到两岁之间，幼儿通常会迅速扩展他们的词汇量。孩子们似乎突然从犹豫地咿呀学语转变为自信地滔滔不绝。但事实证明，从妈妈到早慧的飞跃遵循一个简单的数学模式：钟形曲线。
爱荷华大学的认知科学家Bob McMurray在一个常用的电子表格上建立了一个相对简单的词汇学习数学模型，评估了学习大约200个词汇中每个词汇的潜力。他设定了一个数值阈值，在该阈值下，一个给定的词将被认为是已学会的，其假设是孩子们需要时间来学习每个词，他们可以同时学习多个词，并且有些词更难处理。
一个简单的类比是糖豆罐子：每次听到一个词，一颗糖豆就会放入代表该词的罐子中。更难的词需要更大的罐子和更多的糖豆，以便这些词被认为是已学会的，但是一旦罐子满了，这个词就在幼儿的词汇中了，McMurray解释说。
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在运行实际的数学模型后，McMurray发现，无论如何，幼儿在一段设定的时间后不可避免地经历了词汇学习的爆发式增长。最初，最常见的词汇学习速度相对较慢，随后词汇量迅速增加。换句话说，一个小女孩可能在12个月大时只知道最常听到的词，但在短短四个月后就能掌握数百个她只是偶尔听到的词。
这种学习曲线的形状是一个简单的正态统计分布，更常被称为钟形曲线。将模型扩大到包含10,000个单词显示了相同的模式，改变底层变量（例如，假设孩子一次只能学习一个单词）也是如此。“它稍微慢一点，但仍然是同样的词汇爆发，”McMurray说。
这一发现使人们对儿童时期获得的任何特殊功能（使孩子们能够掌握语言）的必要性产生了怀疑。对于这种先天机制，人们提出了许多建议：从句法引导（使用新词的语境来确定其含义）到相互排斥（通过排除法使用已知的词来学习新词）。“这些专门的机制在边缘发挥作用，”McMurray说。但“要解释大局，它要简单得多。……任何时候你有比简单词更难的词[学习曲线]都会有这个特性。”
这条曲线也应该适用于儿童学习其他事物，例如事实或身体技能，并且可能会在青春期后期急剧下降。“这还没有明确证实，但几乎肯定会发生，”McMurray说。
这条曲线可以解释为什么有些孩子比其他孩子学语言更快，主要是因为他们接触到的词汇量不同或短期记忆能力不同。“这是一个复杂的行为，它不在基因中，只在环境中隐约存在。实际上，它存在于并行学习的数学中，”McMurray说。“这是一种不同的思考发展的方式。”