《挑战者》是一系列奇幻电影和电视剧，讲述了一些幸运地拥有永生的人的故事。只有当永生者的头被砍掉时，他们才会死亡。射中心脏、大脑或任何其他通常敏感的身体部位的伤口都会在几秒钟内愈合。因此，永生者非常注重磨练他们的剑术。
每个永生者通过与另一个永生者进行一对一决斗来获得力量。如果力量为P(X)的永生者X与力量为P(Y)的永生者Y战斗，那么为了这个谜题的目的，获胜者的力量将为P(X) + P(Y)。而失败者，唉，就会死亡。
正如该系列反复提醒我们的那样，最终“只能有一个”永生者站到最后。在系列中，一些永生者挑起战斗，另一些则逃避战斗，而苏格兰主角——高地人——则在战斗来临时接受它。
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假设你是一个永生者。你想找出你生存的最佳前景。你应该挑起战斗还是避开战斗？你更喜欢与更强的对手战斗还是更弱的对手战斗？这一切都取决于获胜的概率。
我们将考虑两个获胜概率假设。“线性获胜模型”如下：
如果力量为P(X)的永生者X与力量为P(Y)的永生者Y战斗，那么X获胜的概率为P(X)/(P(X) + P(Y))，而Y获胜的概率为P(Y)/(P(X) + P(Y))。
热身
假设有三个永生者X、Y和Z。X的力量为2，而Y和Z的力量各为1。如果X决斗并击败Y，然后与Z决斗，那么X生存到最后的概率是多少？如果Y和Z先彼此决斗，然后X与获胜者决斗，X的生存概率是多少？
热身题的答案
如果X与Y决斗，那么X以2/3的概率获胜并获得3的力量。如果X然后与Z决斗，那么X以3/4的概率赢得那场决斗。X在两场比赛中都幸存下来的概率是这两者的乘积：(2/3) * (3/4) = 1/2。
如果Y和Z先决斗，那么获胜者的力量为2。X的力量也为2，因此根据对称性，X获胜的概率为1/2。
热身结束
在热身中，决斗的顺序不会影响X决斗的机会。这个结果引出了我们的第一个问题
1. 假设线性获胜模型，并且最多有8个永生者，你能否找到一种情况，其中决斗的顺序会影响任何给定的永生者生存到最后的机会？
到目前为止，我们假设了一个线性获胜模型，但永生者的生活不必如此简单。假设获胜的概率改为(P(X)2)/[(P(X)2) + (P(Y)2)]。我们称之为二次获胜模型。
热身
让我们在二次获胜模型下重新考虑我们的第一个热身问题。
同样，假设永生者X的力量为2，而永生者Y和Z的力量各为1。如果X与Y决斗，并且如果他赢了，那么与Z决斗，那么X生存到最后的概率是多少？如果Y和Z先彼此决斗，然后X与获胜者决斗，X的生存概率是多少？
热身题的答案
如果X与Y决斗，那么X以4/(4+1)的概率获胜并获得3的力量。如果X然后与Z决斗，那么X以9/10的概率赢得那场决斗。X生存下来的概率是这两者的乘积：(4/5) * (9/10) = 18/25。
如果Y和Z先决斗，那么获胜者的力量为2。X的力量也为2，因此根据对称性，X获胜的概率为1/2。因此，X最好更具侵略性。
热身结束
剩下的所有问题都与这个二次模型有关。
2. 四个永生者最初都拥有相等的力量1，但其中三个只有在战斗并获胜一次后才会主动发起战斗。此后，他们会主动发起战斗。其中一个从一开始就愿意发起战斗。每个永生者获胜的机会是多少？
3. 同样，有四个永生者，其中三个不会主动发起战斗。发起者的力量为1，而非发起者的力量分别为1、2和4。发起者应该以什么顺序与其他发起者战斗才能最大化他的生存机会？
4. 再次有四个永生者，但其中两个会主动发起战斗，而另外两个则不会。如果他们最初都拥有相同的力量，那么两个发起者为了自己的利益，应该先彼此战斗还是先与非发起者战斗？（尝试在继续问题5之前回答这个问题。）
5. 我们已经看到，在二次模型中，最好主动发起战斗，最好先与其他发起者战斗，并且最好先与较弱的对手战斗。假设没有人每天战斗超过一次，那么哪种策略优先？
当然，人们不是永生的，但街头帮派和国家超越了个人成员的生命。这里是否有针对警务工作或外交的模型？