维恩图的奇特历史

在《数学宇宙》一书中，数学家威廉·邓纳姆这样评价约翰·维恩以其名字命名的遗产——维恩图：“在漫长的数学史上，没有人因为更少的东西而更出名。” 虽然维恩图可能没有解决任何长期存在的未解难题，但这些相互交错的圆环当然值得更多赞誉。它们对群体关系的简洁表示解释了它们在教室、信息图表和互联网迷因中持久的吸引力。

维恩图不仅仅是视觉辅助工具，它们还可以帮助我们解决日常逻辑问题，并引发令人惊讶的几何问题。您见过用四个重叠圆圈组成的合适的维恩图吗？没有，因为这是不可能的。维恩本人发现了这一点，并提出了一个巧妙的解决方案，但这仅仅引发了更深层次的几何难题，数学家们至今仍在研究。

维恩在1880年首次展示了他的图表，作为一种可视化逻辑学当代进展的方法。然后，它们在密切相关的数学分支——集合论中找到了应用，集合论专注于对象的集合。维恩图通常由重叠的圆圈组成，每个圆圈代表一组元素（例如，可爱的东西或百老汇演出）。两个圆圈之间的重叠区域包含属于两个集合的元素（例如，“猫”）。就像使用统计学中的散点图或几何学中绘制形状一样，看到问题通常可以澄清问题。

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想象一下，您正在计划一个晚宴，并在朋友们善变的偏好中周旋。如果威尔玛参加，那么弗雷德也会参加。如果巴尼参加，那么其他人也会参加。如果威尔玛来，巴尼就不会来，但如果她不来，他就会来。如果弗雷德和巴尼都参加，那么威尔玛也会参加。您应该期望谁会来？当我们只给出文本时，这个难题很难解决。维恩图提供了一种系统的方法来可视化和解决它。每个陈述都排除了某些可能的结果，我们通过对维恩图的相应区域进行阴影处理来表示这些结果。

您遇到的大多数维恩图都描绘了两个或三个重叠的圆圈，但是如果您有四个或更多集合要考虑怎么办？

您发现问题了吗？没有一个区域仅包含A和C的重叠，而不包含另一个区域，B和D也是如此。一个合适的维恩图描绘了所有交叉点的组合。重新调整布局无济于事。每个四圆图都存在同样的缺陷。

要了解原因，请从一个圆圈开始，并注意它建立了两个区域——内部和外部。当我们添加第二个元素集合（一个新的圆圈）时，我们将可能性增加了一倍，因此我们需要将区域数量增加一倍（第一个集合、第二个集合、两个集合和两个都不是集合）。唯一的方法是让第二个圆圈在两点与第一个圆圈相交（仅在一个点接触将导致只有三个区域：第一个集合、第二个集合或两者都不是）。这种趋势持续下去，如果我们想表示所有逻辑可能性，则每个新圆圈都必须使区域数量翻倍。但是新区域的数量不能超过新的交点的数量，并且一个新圆圈只能在两个点与现有圆圈相交。当添加第三个圆圈时，这很好，因为我们需要添加四个区域，并且新圆圈可以在两个点与两个现有圆圈相交，总共四个新的交点。但是，当使用第四个圆圈时，它会崩溃，我们需要八个新区域，但只能聚集六个新的交点。

当然，我们不需要将自己限制在圆圈上。我们可以轻松地通过三圆图追踪一个弯曲的环，以便它划分出必要数量的区域，但我们会失去图表的优雅性。四个相交的球体也可以表示正确数量的区域，但是三维视觉效果很难解析。约翰·维恩知道圆圈的缺点，因此他提出了用椭圆来表示四个集合。

与圆圈不同，两个椭圆可以在四个点相交。这克服了圆圈的局限性，但这只是暂时的。椭圆适用于四个和五个集合，然后以与圆圈相同的方式失效。随着集合数量的增长，我们需要越来越奇特的形状来描绘它们。

有人可能会合理地争辩说，超过四个元素集合，维恩图就失去了它们的效用。四椭圆图像已经非常混乱。也许对于五个或更多集合，我们应该放弃视觉表示。但是，效用并没有像美和好奇心那样激发数学家的兴趣。尽管维恩图最初应用于逻辑和集合论，但四圆难题提出了一个有趣的几何学问题。这个种子已经发展成为对维恩图几何学的迷人研究，并且一直延续至今。

维恩和他的继任者认为，椭圆无法描绘五个集合图所需的所有32个区域。直到1975年，数学家布兰科·格林鲍姆才通过实例证明他们错了

另请注意，格林鲍姆的图表显示出令人愉悦的旋转对称性。将其旋转整整五分之一圈，它又会回到自身，使原始形状保持不变。典型的两圆和三圆维恩图也具有此属性。将两圆维恩图旋转180度（或将三圆维恩图旋转120度），它看起来还是一样。但是四椭圆图没有旋转对称性。这可以修复吗？二、三和五有什么共同之处，而四没有？

1960年，当时斯沃斯莫尔学院的本科生大卫·W·亨德森，通过一项惊人的发现回答了这个问题（斯坦·瓦根和彼得·韦伯后来填补了一些空白）：只有当集合的数量是素数时，才有可能实现旋转对称的维恩图——素数是只能被1和自身整除的数字，例如2、3和5，但不是4。亨德森只表明素数个集合是必要的，而不是说您总是可以为每个素数设计对称的维恩图。因此，寻找越来越大的示例的竞赛开始了。这是一个看起来很狂野的来自彼得·汉堡的11个集合的维恩图。

南卡罗来纳大学的数学家在2004年解决了这个问题，他们证明了对于每个素数个集合都存在旋转对称的维恩图。如果您认为这导致数学家收拾铅笔，停止对维恩图的研究，那么您就没有继续关注。相反，社区提高了他们的审美标准，寻求具有更精致属性的图形。

我们开篇引用的内容认为维恩图被高估了。即使是那些同意这种观点的人也必须承认它们具有一种奇特的魅力。以逻辑学、几何学和可视化中感兴趣的主题集合为例，您会在交集处找到维恩图。